Défi : expression asymptotique d'une série alternée

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noucho
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Défi : expression asymptotique d'une série alternée

par noucho » 07 Mai 2009, 18:57

Bonjour tout le monde.

Sauriez-vous trouver une expression asymptotique pour cette fonction de x, limite d'une série alternée, lorsque x tend vers 0 ?



Pour ma part, je n'ai trouvé que la limite lorsque x tend vers 0 : . J'ai également pu constater que toutes les dérivées tendent vers 0 : pour .

Résultat, il n'y a pas d'équivalent polynômial à ! ...
J'en appelle maintenant aux jeunes loups et aux vieux sages : Sauriez-vous trouver un équivalent de (nécessairement non polynômial, donc) ??

Bon courage aux amateurs pas effrayés, et à +,
Noucho


PS aux modérateurs : J'ai déjà posté sur une fonction formellement assez similaire, mais sans le . Inutile de dire que cette différence change tout le traitement mathématique et que ce thread n'est donc pas un doublon :we:



noucho
Membre Naturel
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par noucho » 13 Mai 2009, 16:10

Bon salut,

j'ai finalement trouvé, et c'est franchement simple une fois qu'on connaît la réponse ^^

La série

peut être vue comme un cas particulier de
,
expression qu'on peut voir à son tour comme la décomposition en série de Fourier d'une certaine fonction de y -périodique qu'on notera provisoirement .

La fonction est telle que son n-ième coeficient de Fourier est , c'est-à-dire une Gaussienne (sauf pour le coeficient n=0 qui est nul). est donc elle même une Gaussienne, mais à spectre discret, c'est-à-dire une Gaussienne 'périodisée' par repliement dans . Plus précisément:

.

En particulier, concernant ma fonction F(x) initiale:
,
et donc, lorsque x tend vers 0:
.

Voilà voilà.
@+,

Noucho

Nightmare
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par Nightmare » 13 Mai 2009, 16:32

Salut !

Je ne comprends pas ta dernière ligne : "Et quand x tend vers 0 : ..."

noucho
Membre Naturel
Messages: 24
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par noucho » 14 Mai 2009, 15:48

Nightmare a écrit:Salut !

Je ne comprends pas ta dernière ligne : "Et quand x tend vers 0 : ..."


oui, en fait il s'agit d'une équivalence, je me suis juste planté dans le symbole... je corrige de suite.

Sinon, si ta question porte sur l'équation elle-même, i.e., pourquoi c'est cet équivalent là : Juste dans ce cas spécifique , il y a *deux* termes de la somme infinie, n=0 et n=-1 dans mon équation précédente, qui dominent tous les autres lorsque x tend vers 0. Pour toute autre valeur de , seul le terme n=0 domine, donc l'équivalent est généralement "deux fois plus petit" que celui du cas . M'enfin c'est un détail :-)

 

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