Défi 3: une succession indénombrable d'entiers?

[aviateur]

Oui, mais c'est quoi la réponse du deuxième problème. Je conjecture que c'est non mais après avoir supposé l'existence et que l'on peut supposer sans problème que la famille recouvre je n'arrive pas à trouver de contradiction....

[ffback]

La réponse est, étonnamment de nouveau, oui.
Des idées analogues á celles de la résolution de la question initiale peuvent fonctionner.

[aviateur]

Merci de la réponse qui est une non réponse car le problème initial c'est moi qui ait donné la solution!
Donc si je n'y arrive pas cela m'étonnerait que la solution est analogue.

[Ben314]

Je viens de réagir qu'il y a une question naturelle intermédiaire entre les deux de mon précédent post :
- Étant donné un entier naturel fixé, peut on trouver un ensemble non dénombrable de parties de N tel que l'intersection de deux quelconque d'entre elles soit de cardinal au plus ?

Je subodore que la réponse est NON quelque soit l'entier , mais j'ai pas de preuve immédiate (à part pour ...)

[ffback]

Aviateur: je pensais que tu voulais juste savoir si la réponse était oui ou non. Laissons réfléchir encore un tout petit peu ce qui le désire. Par méthode analogue, j'entends "identifier N à Q (ou autre partie dense) pour pouvoir utiliser l'ensemble des nombres réels".

Ben: réccurrence sur d: par un "principe des tiroirs", il y a au moins un entier n qui appartient à un nombre indénombrable d'ensembles de la famille. On considere cette sous famille, on leur enleve à tous l'entier n, et applique à cette nouvelle famille l'hypothèse de reccurence.

[Ben314]

Ca marche effectivement comme ça.
Perso, j'avais trouvé une autre preuve : à tout ensemble de cardinal >d de la famille, on associe l'ensemble formé de ces plus petits éléments. Vu l'hypothèse, c'est injectif et ça atterrit dans un ensemble dénombrable.

[aviateur]

Bonjour,
@ffback Oui tu as raison, il faut laisser chercher encore un peu. C'est à dire
que personnellement j'étais un peu bloqué .
Maintenant c'est clair que sans le dire on travaille sur et
(intersection avec [0,1]) quelquesoit les différentes questions posées.

J'ai tout de même une remarque, si j'ai bien compris la remarque de @ben semble dire que la réponse est non alors que d'après toi la réponse est oui. Il y a quelque chose qui ne va pas?
Je résume un peu ce que je crois avoir compris:
Il n'y a pas d'entier n qui appartient à une infinité non dénombrable de ces ensembles
(montré par une récurrence descendante). Mais alors pour moi, il n'y a pas de solution au problème 2.

[Ben314]

On reprend calmenment : en fait, j'ai posé (dans le désordre) trois questions :
1) Peut on trouver un ensemble non dénombrable de parties de N tel que ces parties soient deux à deux disjointes ?
Là, c'est assez évident, la réponse est NON.
2) Et un ensemble non dénombrable de parties de N telle que l'intersection de deux quelconque d'entre elle soit un ensemble fini ?
Là, c'est nettement moins évident, et la réponse est OUI (et c'est à ça que t'a répondu ffpower)
3) Étant donné un entier naturel fixé, peut on trouver un ensemble non dénombrable de parties de N tel que l'intersection de deux quelconque d'entre elles soit de cardinal au plus ?
Là, la réponse est de nouveau NON et tu as deux preuve possibles dans les messages précédents dont la "récurrence descendante" de ffpower.

[Imod]

Je suis pour laisser du temps , je corrige des copies toute la journée et quand je rentre j'ai l'impression de ne plus avoir de cervelle .

J'avais intuité le résultat annoncé mais de là à le montrer ... Il y a sûrement une solution simple mais il faut mettre le doigt dessus

Imod

[aviateur]

Bonjour
et sont en bijection donc cela ne change à la réponse du problème 2
si je considère F à la place de E.
Pour tour je considère le sous ensemble de F, que je note et
défini par :
(E pour partie entière)
La famille est non dénombrable et l'intersection de 2 différents est de cardinal fini.

J'imagine qu'il y a des tas d'autres solutions équivalentes mais y-a-t-il une démo vraiment différente?

[Ben314]

Ca marche comme ça.
Après, ta question est on ne peut plus floue. Si par "le même type de preuve" tu entend toute preuve où on construit une injection d'un ensemble connu comme non dénombrable dans P(N) avec les bonne propriétés, alors j'ai des doutes concernant le fait qu'il y a ait "d'autres preuves".
Sinon, effectivement, on peut faire un peu plus direct vu que ta première coordonnée ne sert fondamentalement à rien (pas plus que ton exponentielle dans la deuxième coordonnée) : on peut directement prendre la fonction qui, par exemple, au réel de associe .

[aviateur]

J'entends par autre preuve, une preuve qui prouve l'existence sans forcément exhiber un exemple.
Evidemment en cas d'existence comme souvent on préfère exhiber un exemple.
Tout de même l'exemple que je donne, suit une certaine démarche et mes 2 composantes sont utiles et indissociables.

[ffback]

Salut

Je pense aussi que la premiere composante n dans la preuve d'aviateur est nécessaire. Il ne semble pas clair que deux ensembles de la forme s'intersectent finiment. Je trouve l'idée d'utiliser la vitesse de croissance de suites intéressante.

J'ai pour ma part deux exemples:

1)A chaque réel j'associe l'ensemble des termes d'une suite de convergent vers . C'est très proche de la version de Ben qui regarde le développement décimal.

2) A chaque suite d'entiers j'associe l'ensemble où est la suite des nombres premiers.