Défi 3: une succession indénombrable d'entiers?

[ffback]

Salut

Énoncé: Existe t-il une partie de vérifiant les deux points suivants:
1) est totalement ordonnée, ce qui signifie que pour tout dans , on a soit soit soit .
2) est indénombrable.

Good luck

[Ben314]

Salut,

Réponse : OUI (étonnamment)

Je laisse chercher, je donnerais la réponse si personne ne la trouve....

[aviateur]

A mon avis un truc du genre A constitué de tout les nombres de la forme p^j , p premier quelconque et j quelconque. Puis essayer de mettre un ordre la dedans mais je n'ai pas le temps...
Non, ça va pas du tout c'est dénombrable.

[pascal16]

A={ [[i, +oo[[ , i € N} ?

[aviateur]

Prendre puis ordonner (si possibles ces éléments).
Enfin je prends un éléments de c'est une partie de N , je l'appelle x1 et un second je l'appelle x2 et je considère la "réunion" de x1 et x2 et ainsi de suite. J'ai pas le temps d'expliciter mais je subodore que c'est quelque chose qui ressemble à ça

[Ben314]

A={ [[i, +oo[[ , i € N} ?

Oui, ça c'est effectivement totalement ordonné, mais hélas, c'est clairement dénombrable alors que ce que demande ffpower, c'est un ensemble non dénombrable de parties.

[aviateur]

Bonsoir
Soit et pour u,v\in E, on dit que si ou alors si si .... bref tout le monde comprend.
Pour tout u dans E je lui associe le sous ensemble de N déterminer par l'ensemble des composantes de On note cet ensemble . On désigne ensuite l'union des
tel que
L'ensemble des ne répond-il pas à la question?

[ffback]

Salut,
je suis ok pour ton ordre (total) sur E, mais je ne comprend pas comment tu transfers sur N (je pense qu'il y a des coquilles). veux tu dire et ?

Si c'est ça, je ne crois pas que ça marche car on a pour beaucoup trop de v

[aviateur]

Oui je veux dire cela. Je ne dis pas que cela marche mais je ne dis pas le contraire. Je me demande si ça marche c'est tout.
Je comprends ta remarque, c'est même plus général.
car l'application n'est pas injective. Donc on peut se retrouver avec du dénombrable mais c'est pas sûr.

[Viko]

En prenant des suites strictement croissantes on résout le problème de l'injectivité sans perdre l'indénombrabilité non ?

[aviateur]

rebonjour
ou alors j'adapte la proposition précédente en considérant E=P(N) ( à la place de )
Pour avoir un ordre sur P(N) je procède comme ceci: pour un u dans P(N) j'écris ces éléments dans l'ordre croissant. u<v si card(u)< card(v). Sinon si card(u)=card(v) en faisant comme j(ai fait avant i.e ordre lexicographique) Dans ce cas

[ffback]

Si je comprend bien, on aboutit au même probleme: Si card(v)>1, dans Bv tu fais en particulier l'union de tous les singletons donc Bv=N

[aviateur]

Oui ça ne va pas. De toute façon vu les conditions souhaitées il faut une infinité non dénombrables de parties contenant une infinité d'éléments et il me semble bien que les parties finies ne servent à rien.

[aviateur]

Rebonjour
Encore une proposition puis j'abandonne sinon.
Une ébauche de construction: je ne considère que les parties de N de cardinal infini ainsi que leur complémentaire dans N. Je désigne par H ce sous ensemble de P(N)
Soi A un tel ensemble. Il est toujours possible de lui construire un sur-ensemble de H, disons B
mais tel que B-A est encore dans H.
Par exemple. A est l'ensemble des nombres pairs et je lui ajoute l'ensemble B-A des nombres de la forme p non multiple de 2
De la même façon je peux construire un sous-ensemble C ds H tel que tel que A-C est dans H.

Soit donc et deux tels ensembles avec A_0 inclus strictement dans
L"ensemble des rationnels de ]0,1[ étant dénombrables, on peut donc les ranger dans l'ordre
et je les notes et d'après ce qui est dit dessus on peut construire une suite strictement croissantes d'éléments de H contenant et inclus dans Soit maintenant un irrationnel x de ]0,1[
On considère l'union des noté comme d'ailleurs l'intersection l'intersection des noté
Bien sûr des questions naturelles se posent est dans l'affirmative on aura construit une famille indénombrable répondant à la question

[Ben314]

L'idée, c'est à peu prés ça,

....L"ensemble des rationnels de ]0,1[ étant dénombrables, on peut donc les ranger dans l'ordre et je les notes

Mais ça, m'étonnerais que ce soit vrai : si on "range dans l'ordre" les rationnels de [0,1], il y a certes un premier élément , mais il n'a pas de "suivant".
Si tu veut procéder de cette façon, en coupant en deux, c'est clairement bien plus adapté d'utiliser les diadiques que les rationnels.

Sinon, une fois qu'on a bien gratté pour faire la construction par dicotomie et en complétant comme tu le fait ensuite pour passer des diadiques aux réels, si on cherche à expliciter une "vrai" solution, par exemple en partant de 1/2 -> entiers pair ; 1/4 -> multiples de 4 ; 3/4 -> tout ceux congru à 0,1 ou 2 modulo 4, etc...
On se rend alors compte qu'il y a une solution bien plus simple et directe : on considère une application quelconque telle que soit dense dans [0,1] puis, à tout , on associe l'ensemble . C'est injectif (grâce à la densité) et comme ça préserve l'ordre et que [0,1] est totalement ordonné, c'est que l'ensemble des est lui aussi totalement ordonné.

[aviateur]

Ok merci.
Néanmoins quand je dis ranger dans l'ordre, c'est effectivement mal dit mais j'entendais par là les classer dans un certain ordre. i.e on peut les numéroter. il suffit de considérer une bijection
entre et

[Imod]

Bonjour à tous

Amusants ces petit problèmes ( très jolie solution de Ben !!! ) , il m'arrive de me souvenir avec nostalgie de l'époque des défis avec Yos , Tize , Alben , Fahr , Emdro , Flo , Rain , ...

Je risque de retrouver rapidement le chemin du forum si FF a d'autres exercices du même calibre

Imod

[Ben314]

Dans la foulée et en restant sur le même topic vu que c'est du même style, y'a ça aussi :

- Peut on trouver un ensemble non dénombrable de parties de N tel que ces parties soient deux à deux disjointes ?
- Et un ensemble non dénombrable de parties de N telle que l'intersection de deux quelconque d'entre elle soit un ensemble fini ?

[ffback]

Salut Imod
Faut que je mette un peu d'ordre dans ma tête sur les exercices intéressants que j'ai connu ou crées, mais j'espère atteindre en gros une dizaine de défis, au rythme de un par semaine, portant sur divers domaines. Tant mieux si ça permet de redynamiser le forum "comme au bon vieux temps".

Pour l'exercice, c'est effectivement essentiellement ma solution aussi: j'identifie N à Q et je prend {intervalles non minorés de Q} (autrement dit, . C'est les coupures de Dedekind en fait.)

Il est vrai qu'il existe aussi la variante qu'a donné Ben, qui est intéressante aussi et que j'avais oublié, elle aurait eu sa place dans l'énoncé. Je laisse chercher

[Imod]

Pour la première question de Ben , c'est clairement NON car le cardinal de l'ensemble des parties est inférieur ou égal à celui des éléments qui le compose .

La deuxième est plus subtile

Imod