Dans un polygone

[Imod]

Il suffit de démontrer la propriété pour les triangles
car les convexes sont étoilés et l'on considère la réunion
des deux familles de sommets.

Ca mérite quelques explications :doh:

Imod

[mathelot]

re,



soit O un point intérieur aux deux polygones convexes .



Soit (A_i) la famille des sommets du polygone intérieur
et (B_j) la famille des sommets du polygone extérieur

Les segments [OB_j] coupe le pourtour de en un point (théorème de topologie dit du passage des douanes)

Les demi droites [OA_i( coupe le pourtour du polygone
en des points car est compact.


La réunion des familles de points A_i et C_j d'une part , des familles
et
permettent de voir les deux polygones comme la réunion
d'une famille finie de triangles deux à deux emboités de sommet commun O.

[Imod]

Je ne suis pas sûr d'avoir compris , affirmerais-tu que le segment rouge est plus petit que le bleu ?



Imod

[Doraki]

oui mais le problème c'est que ça t'aide pas vu que si t'as des résultats sur les périmètre des triangles, ça te donne pas de résultat sur les périmètres des polygones.

Bon sinon :
On regarde un coté du polygone intérieur. On le prolonge dans les 2 directions jusqu'à croiser le polygone extérieur en A et en B.
Il est bien connu que le chemin le plus court pour aller de A à B (dans un plan hein) c'est un segment.
Donc on peut modifier le polygone extérieur en lui faisant prendre un raccourci entre A et B qui contient le coté du polygone intérieur qu'on a considéré.
En faisant ça on diminue donc le périmètre du polygone extérieur.
On fait ça pour chaque coté du polygone intérieur et comme le polygone intérieur est convexe, le polygone extérieur final est le polygone intérieur.
On en conclut que le périmètre du polygone extérieur initial est donc plus grand que celui du polygone convexe intérieur

[Imod]

Bien vu Doraki , plus difficile qu'il n'y parait :++:

Imod

[mathelot]

re,

je ne suis pas convaincu par le procédé de Doraki: quand on majore
de cette façon le périmètre intérieur, la réunion des lignes brisées A->B
peut donner strictement plus que le périmétre extérieur, car il y a du chevauchement.


je propose d'adapter la démo de façon suivante:
on introduit une addition (partielle) sur les polygones du plan,
de la manière suivante:

si on recolle un polygone P de cotés de longueurs a,b,c,d extérieurement avec un polygone Q de côtés a,e,f,g

en recollant selon le côté a,le polygone P+Q a pour côté b,c,d,e,f,g
et pour périmétre b+c+d+e+f+g

Ainsi le procédé de Doraki montre que l'on peut additionner des polygones,
selon la définition précédente, au polygone intérieur pour obtenir le polygone extérieur.

[Imod]

Je ne comprends pas tes réticences mathelot :



Le polygone jaune a un périmètre plus petit que le grand et contient le rouge ( au sens large ) . On renouvelle l'opération autant de fois qu'il le faut .

Imod

[mathelot]

merçi. j'ai (enfin) compris.

sinon, j'avais pensé à faire passer une courbe de Jordan entre les deux polygones, grâce à l'emboitement des triangles (dessin de 13h27)
dont la longueur discriminerait les deux périmètres.

parce que la longueur d'une courbe rectifiable est le sup des périmètres
de polygones inscrits.