Un polygone bien couvert

[Imod]

On considère un polygone convexe qui ne peut recouvrir complètement aucun triangle d'aire 1 cm² . Montrer qu'il existe un triangle d'aire 4 cm² recouvrant complètement le polygone .

Assez facile si on prend l'exercice par le bon bout , sinon gare aux engelures !!!

Imod

[Doraki]

Je prends un point M à l'extérieur du convexe.
Je regarde les 2 tangentes au convexe qui passent par M.
J'appelle A et B les points où les tangentes touchent le convexe, N et P les symétriques de M par rapport à A et B,et je regarde la droite NP.
Si elle est tangente au convexe en un point C c'est gagné car dans ce cas, le triangle MNP contient le convexe, qui contient le triangle ABC, qui fait judicieusement 1/4 de MNP en aire.
Donc l'aire de MNP est au moins 1 cm², et donc celle de ABC est au moins 4 cm².

Je ne vois pas de jolie manière de montrer qu'un tel point existe à part par un argument de continuité entre un point M loin du convexe où la droite NP est elle aussi trop loin pour toucher le convexe et un point M très proche du convexe où NP passe dans le convexe près de M...

[Doraki]

Je regarde un point M à l'extérieur du convexe.
Je choisis 2 points A et B du convexe tel que (MA) et (MB) sont tangentes au convexe. (généralement il n'y a pas le choix).
Je regarde les points N et P symétriques de M par rapport à A et B, et la droite (NP).
Si (NP) est tangente au convexe en un point C alors le triangle MNP recouvre le convexe, qui recouvre le triangle ABC.
Donc l'aire de ABC est moins que 1 cm², comme l'aire de MNP est 4 fois celle de ABC, MNP fait moins de 4 cm².

J'ai pas de jolie preuve qu'il existe un point M tel que la droite NP obtenue est tangente au convexe.
On peut utiliser un argument de continuité entre un point M loin du convexe qui donne une droite NP loin du convexe et un point M proche du convexe, qui donne une droite NP proche de M qui coupe le convexe.

[nodgim]

On partage un triangle en 4 triangles égaux en joignant les milieux des cotés de ce triangle :++:

[Imod]

Pas mal :++: ne pourrait-on partir de ?

Imod

[nodgim]

Bien sûr, j'ai donné un indice pour indiquer que j'avais la solution, mais sans la dévoiler vraiment. Il y aurait une autre approche?

[Imod]

Vu le peu de succès du premier problème en voici un deuxième :we:

Montrer que tout quadrilatère convexe d'aire 1 peut être recouvert par un triangle d'aire 2 .

Imod

[Patastronch]

Je tente une démo a la Imod (le quadrillage est censé être carré :we: )


Edit : Arf je l'ai fait pour un cas particulier, ca prouve rien du tout pour un quadrilatère quelconque :s

[lapras]

Dans le même genre :
Prouver qu'un polygone convexe d'aire 1 peut être contenu dans un rectangle d'aire 2.

[Imod]

Pour le problème de lapras , on considère deux points du polygone A et B le plus éloignés possible . Le polygone P est contenu dans la bande définie par les perpendiculaires à (AB) en A et B ainsi que dans une autre bande parallèle à (AB) . C et D sont deux points de contact entre P et cette bande ( voir la figure ) .



Par convexité le quadrilatère ACBD est contenu dans P qui est contenu dans le rectangle UVWX . Comme l'aire de UVWX est deux fois celle de ACBD on obtient en UVWX un rectangle dont l'aire est au plus deux fois celle de P .

Imod

[lapras]

exact Imod ! :we: :happy2:

[Imod]

Un autre du même style mais très difficile ( je rappelle quand même que le premier n'est toujours pas résolu :we: )

On se donne un polygone convexe P . Sur chaque côté de P on construit à l'intérieur de P un triangle s'appuyant sur ce côté et d'aire maximale . Montrer que la somme des aires de ces triangles fait au moins deux fois l'aire de P :doh:

Imod

[Zweig]

Si on veut une superbe solution, faut demander à Ilia Smilga :zen: (le seul français et l'une des rares personnes (4-5/~500 personnes présentes) à avoir eu 7/7 à cet exercice aux OIM 06 ...)