3 cercles tangent à un 4ème

[TEDDY P]

bonjour à tous !

voici un problème géométrique auquel je fais face.
soit 3 cercles quelconques ( pas le même diamètre ) qui n'ont pas de point de contact mais dont on connait la position du centre.

Je cherche à trouver le 4ème cercle qui rejoindra les 3 autres !

je pense qu'il y a un rapport avec le théorème de Descartes ou le problème d’Apollonius mais je sèche ensuite !

d'aucuns ont essayé une approche avec équations sans succès. Perso je préfèrerais une résolution géométrique mais qui me semble compliquée.

quelqu'un a t-il une solution simple pour que je puisse trouver le centre exacte du 4eme cercle tangent aux 3 autres ???

merci !
teddy

[chan79]

Salut
Le théorème de Descartes est sans doute ce qu'il y a de mieux dans ce cas.
Sinon le centre cherché est le point d'intersection de deux branches d'hyperboles.

[nuage]

Salut,
il y a a priori huit cercles solutions.

[chan79]

Salut,
il y a a priori huit cercles solutions.

oui, je suppose que c'est le cercle "central" qui est recherché ... :zen:

[nuage]

On va attendre les précisions de TEDDY P
:zen:

[Ben314]

Cela fait parti de mes "problèmes de constructions" préférés :
On prend 3 objets parmi points/droites/cercles et on cherche le(s) cercle(s) (passant par)/(tangents aux) 3 objets considérés.
Exemples :
- cercle passant par 3 points fixés -> cercle circonscrit : fastoche à construire
- cercles tangent à 3 droites fixés-> cercle inscrit + 3 cercles exinscrits dans un triangle : encore fastoche à construire
- cercle tangent à 2 droites fixées et passant par un point fixé -> trés trés classique (et pas totalement évident si on sait par par où s'y prendre...)
- cercle tangent à 1 droite fixée et passant par 2 point fixés -> Idem : archi classique, mais... pas évident...
etc...

Dans TOUT ces problèmes là, le(s) cercle(s) solution(s) sont traçable à la règle et au compas.

Dans le cas de 3 cercles, si on cherche un cercle tangent extérieurement aux 3 de départ, on peut commencer par diminuer les 3 rayons de la valeur du plus petit des 3 pour se ramener au cas 2 cercles + 1 point (si on veut des tangentes intérieures, on ajoute le rayon au lieu de le soustraire).

Ensuite, on peut utiliser une inversion centrée sur un des deux cercles, pour se ramener au cas 1 cercle + 1 droite + 1 point.

Ensuite... je laisse chercher (en fait je me rappelle plus "par coeur" comment on continue... :zen: )

[Ben314]

On va attendre les précisions de TEDDY P
:zen:

Si on sait construire un des cercles solutions (par exemple celui tangent extérieurement au 3 autres), la méthode pour construire les autres (celui tangent intérieurement aux 3 autres ou des "mixte" des deux) est à peu prés la même.
Si on cherche celui tangent extérieurement aux 3 donnés, on diminue les rayon des cercles donnés de r (= min des 3) et on augmente le rayon de celui qu'on cherche de r (son centre reste le même)
Si on cherche celui tangent intérieurement aux 3 donnés, on diminue aussi les rayon des cercles donnés de r (= min des 3) mais on diminue aussi le rayon de celui qu'on cherche de r.
Dans les cas "mixte", on augmente certains rayon de r et on en diminue d'autres de r

[Ben314]

En fait, on a plutôt intérêt à augmenter les 3 rayaons jusqu'à ce que 2 des 3 cercles soient tangents.
On utilise alors une inversion centré au point de tangence des 2 cercles et on a ramené le problème à celui de 2 droites parallèles plus un cercle ce qui est (quasi) trivial.

[fma]

C'est ici

http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoPlane/Puissance/VieteDynamik.html

[TEDDY P]

wouah !
c'est génial merci à tous ! je crois que je vais partir sur la solution de construction géométrique du principe de viete. c'est ce qui semble le plus simple a faire pour moi en tout cas !
je vais essayé et je vous tiens au courant !
merci encore

[Ben314]

Je le (re)dit : a mon avis, c'est bien plus rapide en augmentant les 3 rayons jusqu'à ce que deux d'entre eux soit tangents qu'en les diminuants.
Et de toute façon, tu ne couperas pas à l'utilisation des inversions, quelque soit la méthode employée : une fois le problème ramené à "2 cercles + 1 point", sur le site de cabri ils écrivent eux-même :

En fait nous nageons en pleine inversion. Mais nous avons fait le choix - particulièrement dans ces pages sur la puissance d'un point par rapport à un cercle - de rester dans le cadre des programmes du CAPES et de ne pas utiliser des arguments d'inverion.

Et effectivement, prétendre ne pas utiliser les inversions quand on utilise plein pot les propriétés de "puissance d'un point par rapport à un cercle", c'est un peu... comment dire... "limite"...
Et en plus, je trouve (perso) que c'est l'archétype du truc où le type qui connait pas les inversions risque de se dire "mais comment ils ont fait pour trouver un truc pareil !!!!" alors qu'avec les inversion, la construction "coule de source" (on simplifie le problème en remplaçant des cercles par des droites)
Je fait parti des matheux qui pensent que ce n'est pas malin du tout de vouloir a tout pris faire des preuves de certains trucs en n'utilisant pas les outils adaptés : c'est comme ça qu'on donne aux étudiant l'impression que les preuves "sortent d'un chapeau", c'est à dire qu'elles sont "sans fils conducteur" alors qu'avec les bons outils, la preuve devient (parfois...) "trés naturelle".

[nuage]

Salut,
je me pose une question : est-il possible de déterminer facilement le nombre de cercles réels tangents à 3 cercles donnés ?

La construction de Ben314 montre facilement qu'il y en a six quand exactement deux des cercles sont tangents, et 5 quand les trois cercles sont tangents (en admettant qu'un cercle est tangent à lui même). Il est immédiat que l'on peut avoir 0 solution en prenant trois cercles distincts et concentriques.

Mais après ?

Je ne connais pas la réponse, je vais essayer de regardder, mais si quelqu'un a une idée, ça m'intéresse.

[nuage]

Pour donner un autre exemple, conforme aux hypothèses de TEDDY P :
si les centres sont alignés on aura au plus 2 cercles tangents aux cercles donnés. Éventuellement aucun si les rayons sont égaux.

[nuage]

Le message précédent dit des bêtises.
Il y a 4 ou 2 cercles tangents dans ce cas.

[Ben314]

Ah...
perso, dans le cas de figure où les 3 disques (intérieurs des 3 cercles) sont disjoints, il me semble qu'il y a toujours 8 solutions (que les centres soient alignés ou pas).

P.S. S'il existe une/des droites tangentes aux 3 cercles, je les comptes aussi comme des solution (i.e. je raisonne dans P^1(C) où les droites ne sont jamais que des cercles "passant par l'infini")

[nuage]

Je me plaçait dans le cas euclidien réel. Mais ce n'est pas si grave.

Disons que l'on prend les cercles de centres respectifs (-2;0) , (0;0) et (2;0) et de rayon 1. On a trois disques d'intérieurs disjoints.

J'accepte les droites y=1 et y=-1 comme cercles.

Où sont les autres ?

[Ben314]

Là, tes 3 cercles sont 2 à 2 tangent (et les disques FERMES sont non disjoints, mais c'est vrai que j'avais pas précisé "fermés")
Mais il y a quand même le cercle de centre (-1,0) et de rayon 2 et celui de centre (1,0) de rayon 2 qui sont tangents aux 3 autres plus le cercle du milieu (a mon sens, on peut le considérer comme tangent à lui même si on considère que deux figures sont "tangentes" à condition d'avoir un point commun avec une tangente commune en ce point et/ou si on considère que 2 cercles sont tangents lorsque la distance entre leur centres respectifs vaut la somme ou la différence de leurs rayons)

bon, ça en fait déjà 5 et je pense pas qu'il y en ait d'autres.

Surtout que, si tu fait passer tes rayons de 1 à 1-epsilon, il y en aura 3 de plus vu que, par exemple, celui centré en (-1,0) de rayon 2 deviendra DEUX cercles centrés en (-1, +/- chouïa) de rayon 2+une pécadille.

[Ben314]

Une petite remarque concernant à la fois les droites (sont-ce des cercles ?) et le fait de savoir si un cercle est tangent à lui même ou pas :

Si tu fixe un cercle Co centré en O et un point A sur ce cercle et que tu essaye de voir "en dynamique" tout les cercles C tangents à Co en A alors, le centre de C doit être sur la droite (OA).
Si on commence par placer le centre de C en A, on a un cercle réduit à un point.
On déplace le centre vers O : le cercle grossit petit à petit en restant à l'intérieur de Co puis devient exactement égal à Co (d'où le coté "naturel de dire que Co est tangent à Co) puis continue à grossir (maintenant il contient Co) et, si on reste à la même échelle, la courbe que l'on voit qui passe par A ressemble de plus en plus à une droite. J'aurais tendance (perso) à considérer que le plus logique est de continuer en disant qu'à un moment donné, le cercles EST la droite tangente en A (le centre du cercle est à l'infini) puis le centre du cercle C "réapparait" de l'autre coté de la droite OA et C redevient un "vrai" cercle de plus en plus petit tangent extérieurement à Co.

Tout ce baratin pour dire que, si on cherche le nombre de cercles solutions, il y a forcément moins de "cas particuliers" si on accepte les droites comme des cercles (un peu de la même façon que de compter les racines d'un polynôme AVEC leur ordre de multiplicité, ça conduit à des résultats plus simples que si on ne fait que les compter "normalement")

Exemple : combien y a-t-il de cercles passant par 3 points donnés du plan ?
Réponse si on considère que les droites ne sont pas des cercles :
- Un et un seul si les 3 points sont non alignés.
- Aucun si les trois points sont alignés mais 2 à 2 distincts.
- Une infinité si (au moins) 2 des points sont confondus
Réponse si on considère que les droites sont des cercles :
- Un et un seul si les 3 points sont 2 à 2 distincts.
- Une infinité si (au moins) 2 des points sont confondus

[nuage]

;Le problème est qu'un cercle n'est pas une conique quelconque . Et qu'il n'est pas évident qu'un cercle passe par un «petit trou»
Disons que l'on prend les cercles de centres (-5;0) , (0;0) et (5;0) de rayons respectifs 1,9 ; 2 et 1,8.

On a bien trois fermés disjoints.

Si tu veux tu peux essayer de trouver les cercles tangents simultanément à ces trois cercles.
Je ne crois pas que tu en trouves huit.

[Ben314]

ben...
si...
Je regarde si j'arrive à te faire une figure (pourrie) avec ce que j'ai (paint....)