7 bougies à souffler de façon aléatoire.

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
aviateur
Habitué(e)
Messages: 2180
Enregistré le: 19 Fév 2017, 10:59

7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par aviateur » 18 Nov 2017, 18:59

Bonjour
Voici de nouveau un gâteau d'anniversaire avec 7 bougies à éteindre. Mais la règle a changé:
Les yeux bandés, le (ou la) gamin(e) souffle sur une bougie au hasard mais malheureusement
si la bougie est éteinte elle va s'allumer de nouveau.
La famille et les amis ne pourront boire le champagne que si les 7 bougies sont éteintes.
En moyenne l'enfant met 5 secondes pour souffler sur une bougie.
Combien de temps va-t-on attendre pour boire le champagne?



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 19501
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par Ben314 » 18 Nov 2017, 21:09

Salut,
Sauf erreur, il faut en moyenne 2416/15 étapes de 5 secondes (soit environ 161.066 étapes) pour que toutes les bougies soient éteintes.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

aviateur
Habitué(e)
Messages: 2180
Enregistré le: 19 Fév 2017, 10:59

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par aviateur » 19 Nov 2017, 04:30

Bonjour
Oui c'est bien cela.
Pour le calcul je suis parti de n=1 (c'est à dire 6 bougies allumées et 1 éteinte)
car c'est la seule possibilité à la première étape. Ensuite j'ai calculé "de 2 en 2" puisque la parité du nombre de bougies allumées change à chaque étape. Cela réduit la taille des calculs.

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 9876
Enregistré le: 04 Mar 2007, 20:39

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par chan79 » 19 Nov 2017, 11:40

Salut
Lorsqu'on fait une simulation de par exemple 400000 expériences, on obtient effectivement une moyenne proche de 161 étapes, soit environ 13 min 25 s à souffler sur le gâteau. Gare aux bactéries !
Fichiers joints
7bougies.gif
7bougies.gif (53.35 Kio) Vu 256 fois

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 19501
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par Ben314 » 19 Nov 2017, 14:27

Ce type de calcul d'espérance, c'est très courant dans les casse-têtes et perso., la façon dont je procède, j'aurais tendance à appeler ça "processus stochastique avec état de sortie" :
On note le vecteur colonne des probas des différents états non finaux après étapes et la matrice de transition de façon à avoir .
Donc ici, c'est un vecteur de lignes (où nombre de bougies) contenant les proba. qu'après "soufflages" il y ait bougies éteintes ; c'est le vecteur colonne (1 0 0 0 ...) et c'est la matrice entièrement nulle sauf au dessus de la diagonale où on a et en dessous de la diagonale où on a .
La proba. qu'après étapes le processus ne soit toujours pas fini c'est la somme des coordonnées de , c'est à dire est le vecteur ligne donc la proba que le processus s'arrête en exactement étapes, c'est et l'espérance du temps d'arrêt, c'est :

C'est à dire la somme des coordonnées du vecteur colonne solution du système et jusque là, ça s'applique à tout les problème de ce type où on cherche l'espérance du "temps de sortie" du processus.

Dans le cas présent, si en colonne, le système donne
(avec pour la dernière équation)
La somme des premières équation donne qui permet de calculer les "en cascade" en partant de (j'ai pas cherché à regarder s'il y avait une "jolie" formule générale avec quelconque)
Modifié en dernier par Ben314 le 02 Déc 2017, 20:18, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pacotille
Membre Naturel
Messages: 10
Enregistré le: 27 Nov 2017, 02:01

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par Pacotille » 02 Déc 2017, 18:28

En codant de sorte à souffler des gâteaux à p bougies, je me suis rendu compte d'un "résultat" (conjecture ?) que je ne connaissais pas : la suite qui associe au nombre de bougies à éteindre le nombre d'essais moyens à effectuer est semble t-il géométrique ( et serait de raison proche ou égale à 2).
J'en veux pour motivation de la conjecture le graphique suivant, en échelle logarithmique (sachant que j'ai eu des droites mieux dessinées que celle ici présente)

PS : je n'ai pas l'impression que le fichier joint soit passé. J'essaierai plus tard de le faire passer

Le fichier ne passant pas, voici la suite des rapports entre 2 termes consécutifs de la suite (sachant que la moyenne du nombre de souffles pour chaque p bougies est faite sur 100 essais)
[3.84,
2.776041666666667,
2.0938086303939962,
2.0940860215053765,
1.6872058194266153,
1.8906923662186153,
1.9067739771965126,
2.4127330284910307,
1.5910429483628303,
2.319711186043102,
1.4758101467823228,
2.482444823912939,
2.1928741471661337,
1.7651446839098826,
1.9710174881117386]


Le premier de 3.84 étant à exclure étant donné qu'il s'agit du passage de 1 bougies à 2 bougies. Je pense que je ne peux pas mettre de fichier à cause de mon manque d'ancienneté, mais visuellement en échelle log, ça fait une jolie droite !

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 19501
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par Ben314 » 02 Déc 2017, 21:02

Si tu calcule les valeurs exactes des espérances, tu verra que ce n'est pas une suite géométrique : le rapport entre deux termes est de plus en plus proche de 2, mais pas égal à 2.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 19501
Enregistré le: 11 Nov 2009, 22:53

Re: 7 bougies à souffler de façon aléatoire.

par Ben314 » 03 Déc 2017, 14:20

A force, j'ai un truc à peu prés exploitable pour approximer le temps moyen :

Avec toujours bougie, pour , le temps moyen qu'il faut pour passer de l'état " bougies éteintes" à l'état " bougies éteintes" est : (coefficients binomiaux)
Avec évidement , mais le truc un peu moins évident, c'est qu'en fait et, plus généralement, pour tout
Le temps total moyen, c'est donc et, clairement, est proche de , et plus précisément de .

Par exemple, pour , on a
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 4 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite