Marche aléatoire ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Je viens de réfléchir à un petit exo en regardant un épisode de Monty Python (défi de géométrie et proba, sinon plus)... Bien sûr, je n'ai pas la réponse, mais vous propose de réfléchir là-dessus, s'il y a des courageux :)

Deux hommes jouent à cache-cache sur le globe terrestre. On suppose que l'un des deux (le seeker) compte assez longtemps pour que l'autre soit hors de vue, lorsqu'il se tourne enfin. On négligera la présence de tout relief.

1) Est-ce que le temps que met le seeker à compter a une influence sur les chances de trouver le hider ? Expliquer et modéliser ce résultat si possible.

2) Peut-on donner la probabilité que l'un trouve l'autre au bout d'un instant t fixé ?

[adrien69]

1) et 2) On suppose que le type est méga-myope, on va donc quadriller la terre par des méridiens et des parallèles espacés au plus d'un mètre sur lesquels il se déplacera. Le théorème de Pòlya appliqué à la variété Riemannienne de dimension 2 qu'est la terre donne directement le résultat (les deux parce que le type part dans n'importe quelle direction, donc la distance à laquelle il est il n'influe pas).


Edit : mais je suppose que ce n'est pas la réponse que tu attendais hein Kikoo ? XD
Je suis curieux de voir comment on fait ça avec des outils élémentaires.

[Archytas]

Salut,

Je viens de réfléchir à un petit exo en regardant un épisode de Monty Python (défi de géométrie et proba, sinon plus)... Bien sûr, je n'ai pas la réponse, mais vous propose de réfléchir là-dessus, s'il y a des courageux

Deux hommes jouent à cache-cache sur le globe terrestre. On suppose que l'un des deux (le seeker) compte assez longtemps pour que l'autre soit hors de vue, lorsqu'il se tourne enfin. On négligera la présence de tout relief.

1) Est-ce que le temps que met le seeker à compter a une influence sur les chances de trouver le hider ? Expliquer et modéliser ce résultat si possible.

2) Peut-on donner la probabilité que l'un trouve l'autre au bout d'un instant t fixé ?

Est-ce que lorsque le premier a fini de comter l'autre se fixe ?

[Kikoo <3 Bieber]

Est-ce que lorsque le premier a fini de comter l'autre se fixe ?

Non, il continue de marcher Sinon c'est moins drôle (enfin bien plus difficile quand même je crois).

Et puis faut dire qu'ils avancent à la même vitesse.

[adrien69]

Non, il continue de marcher Sinon c'est moins drôle (enfin bien plus difficile quand même je crois).

Et puis faut dire qu'ils avancent à la même vitesse.

Ahhhh bah alors mon truc ne marche pas

[Kikoo <3 Bieber]

Ahhhh bah alors mon truc ne marche pas

Le truc que je trouve marrant, c'est que là on parle aussi de topologie (enfin je crois, je connais rien du tout).
C'est que la forme d'une sphère impose quand même des règles particulières, que l'on n'a pas dans un plan.

[Kikoo <3 Bieber]

Edit : mais je suppose que ce n'est pas la réponse que tu attendais hein Kikoo ? XD
Je suis curieux de voir comment on fait ça avec des outils élémentaires.

Je pense pas qu'on puisse faire ceci avec des outils élémentaires ^^'
J'attends de voir la réponse des matheux (s'ils daignent toucher un jour à ce problème :p)

[Archytas]

Ce serait pas possible de commencer par calculer le champs de vision d'un homme (en les supposant de même taille (par exemple 2m) on cherche la taille S d'un segment délimité par la sphère de rayon Rt+2 (rayon de la terre+taille d'un homme) et appartenant à une tangente à la sphère. Quand le "hider" se trouve dans le cercle C de rayon S et de centre la tête du "seeker" il est trouvé et après on se refere à un théorème que je connais pas (mais que j'espère qui existe) et à partir de celui ci à partir de déplacement aléatoire on calcul la probabilité que l'un se trouve dans le cercle C de l'autre ^^.
edit : ça permettrait de se ramener à un plan un peu bizrarreà visualiser puisque quand on quitte un bord on arrive au bord opposé mais celà dit ça peut peut etre simplifié le problème,non ?!

[Imod]

J'avais proposé ce problème il y a quelque temps

Alien

Comme il est assez proche de celui de Kikoo , je me permets de le rappeler :zen:

Imod

[Kikoo <3 Bieber]

Ce serait pas possible de commencer par calculer le champs de vision d'un homme (en les supposant de même taille (par exemple 2m) on cherche la taille S d'un segment délimité par la sphère de rayon Rt+2 (rayon de la terre+taille d'un homme) et appartenant à une tangente à la sphère. Quand le "hider" se trouve dans le cercle C de rayon S et de centre la tête du "seeker" il est trouvé et après on se refere à un théorème que je connais pas (mais que j'espère qui existe) et à partir de celui ci à partir de déplacement aléatoire on calcul la probabilité que l'un se trouve dans le cercle C de l'autre ^^.
edit : ça permettrait de se ramener à un plan un peu bizrarreà visualiser puisque quand on quitte un bord on arrive au bord opposé mais celà dit ça peut peut etre simplifié le problème,non ?!

Déjà, oui pour calculer le cercle de vision qu'a le seeker Je tiens aussi à préciser que les personnages n'ont pas de but, c'est-à-dire qu'ils divaguent çà et là sans décider d'un chemin précis (marche aléatoire).

Donc si je m'en tiens à ton idée, on va donner un ordre de grandeur de la taille d'un homme, disons , et le rayon de la Terre vaut à près .
On cherche, comme tu l'as dit, le rayon du cercle d'horizon (cercle de vision du seeker).
Voici une figure :

J'en arrive à
Mais pour calculer ...

Ah salut Imod Bon ben un de plus pour réfléchir !

[hammana]

Salut,

Je viens de réfléchir à un petit exo en regardant un épisode de Monty Python (défi de géométrie et proba, sinon plus)... Bien sûr, je n'ai pas la réponse, mais vous propose de réfléchir là-dessus, s'il y a des courageux

Deux hommes jouent à cache-cache sur le globe terrestre. On suppose que l'un des deux (le seeker) compte assez longtemps pour que l'autre soit hors de vue, lorsqu'il se tourne enfin. On négligera la présence de tout relief.

1) Est-ce que le temps que met le seeker à compter a une influence sur les chances de trouver le hider ? Expliquer et modéliser ce résultat si possible.

2) Peut-on donner la probabilité que l'un trouve l'autre au bout d'un instant t fixé ?

Tant que le seeker n'a pas trouvé le hider ils sont dans la même situation qu'au départ. A tout moment la probabilité de trouver le hider est indépendante du temps écoulé, elle suit la loi exponentielle.
La probabilité de trouver le hider dans un délai inférieur à t serait donc:
1-e^(-kt)
Le paramètre k mesure l'habileté du seeker