Marche aléatoire dans Z²

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop où poser le problème donc je le met là bien que je n'ai pas la solution...

On considère la marche aléatoire "classique" sur Z² : on part du point Mo=(0,0) et, à chaque étape, on déplace le point d'une unité dans une des 4 direction Haut, Bas, Droite,Gauche, la direction étant choisie au hasard avec équiprobabilité (p=1/4)
Il est bien connu (Théorème de Pólya) que le point fini surement (au sens des proba) par repasser par l'origine (0,0).

Évidement, cela implique qu'il repasse "surement" par un des deux points (0,0) ou (1,1).
Quelle est la proba. que de ces deux points là, ce soit au point (0,0) qu'il repasse en premier ?

EDIT : il y a une erreur dans l'énoncé, c'est plutôt le point (0,1) qui m'intéresse comme deuxième point.

[DamX]

Salut,
Je sais pas trop où poser le problème donc je le met là bien que je n'ai pas la solution...

On considère la marche aléatoire "classique" sur Z² : on part du point Mo=(0,0) et, à chaque étape, on déplace le point d'une unité dans une des 4 direction Haut, Bas, Droite,Gauche, la direction étant choisie au hasard avec équiprobabilité (p=1/4)
Il est bien connu (Théorème de Pólya) que le point fini surement (au sens des proba) par repasser par l'origine (0,0).

Évidement, cela implique qu'il repasse "surement" par un des deux points (0,0) ou (1,1).
Quelle est la proba. que de ces deux points là, ce soit au point (0,0) qu'il repasse en premier ?

Hello,

J'avoue que ça parait tout simple de loin mais pour trouver une solution analytique ça a l'air coton. En revanche il y a plusieurs façon d'effectuer une approximation :
* brutalement en lançant des trajectoires et pour que la simulation se termine en temps fini/contrôlable, en prenant p=1/2 "à l'infini" - si la trajectoire sort d'un certain cercle "assez grand".
* en trouvant des symétries et conditions que vérifie la matrice infinie des probas P(i,j) = Proba que le chemin passe par (0,0) avant (1,1) sachant qu'on est en (i,j) et en en calculant une approximation de taille finie avec une valeur aux bords 1/2 et obtenue par méthode de point fixe d'un opérateur (la matrice doit annuler le laplacien discret classique en fait).
Bref quelque soit la méthode et en poussant un peu les params d'approximation (taille du cercle, taille de la matrice, nombre d'itérations), ça donne une valeur autour de 0,607.

La valeur est > 0.5 ce qui est parfaitement logique puisqu'au premier déplacement il y a une chance sur deux de se retrouver à égale distance de (0,0) et de (1,1) et une chance sur deux de se retrouver plus proche de (0,0) que de (1,1) avec intuitivement donc une plus grande chance de passer par (0,0) avant (1,1) dans ce cas.

Sympa comme question en tout cas, je suis curieux de voir si on peut trouver une expression formelle de la solution.

Damien

[Ben314]

Oupssssss......
Je me suis gourré dans l'énoncé.....
Le deuxième point qui m'intéresse en fait, c'est pas le point (1,1), mais le point (1,0)....

La question est sans doute elle aussi trés intéressante dans le cas du point (1,1), mais dans le cas du point (1,0) le résultat semble particulièrement simple donc il risque d'y avoir une preuve plus élémentaire que dans le cas (1,1)

I deeply and profusely appologize.... :cry: