7 bougies à souffler de façon aléatoire.

[aviateur]

Bonjour
Voici de nouveau un gâteau d'anniversaire avec 7 bougies à éteindre. Mais la règle a changé:
Les yeux bandés, le (ou la) gamin(e) souffle sur une bougie au hasard mais malheureusement
si la bougie est éteinte elle va s'allumer de nouveau.
La famille et les amis ne pourront boire le champagne que si les 7 bougies sont éteintes.
En moyenne l'enfant met 5 secondes pour souffler sur une bougie.
Combien de temps va-t-on attendre pour boire le champagne?

[Ben314]

Salut,
Sauf erreur, il faut en moyenne 2416/15 étapes de 5 secondes (soit environ 161.066 étapes) pour que toutes les bougies soient éteintes.

[aviateur]

Bonjour
Oui c'est bien cela.
Pour le calcul je suis parti de n=1 (c'est à dire 6 bougies allumées et 1 éteinte)
car c'est la seule possibilité à la première étape. Ensuite j'ai calculé "de 2 en 2" puisque la parité du nombre de bougies allumées change à chaque étape. Cela réduit la taille des calculs.

[chan79]

Salut
Lorsqu'on fait une simulation de par exemple 400000 expériences, on obtient effectivement une moyenne proche de 161 étapes, soit environ 13 min 25 s à souffler sur le gâteau. Gare aux bactéries !

[Ben314]

Ce type de calcul d'espérance, c'est très courant dans les casse-têtes et perso., la façon dont je procède, j'aurais tendance à appeler ça "processus stochastique avec état de sortie" :
On note le vecteur colonne des probas des différents états non finaux après étapes et la matrice de transition de façon à avoir .
Donc ici, c'est un vecteur de lignes (où nombre de bougies) contenant les proba. qu'après "soufflages" il y ait bougies éteintes ; c'est le vecteur colonne (1 0 0 0 ...) et c'est la matrice entièrement nulle sauf au dessus de la diagonale où on a et en dessous de la diagonale où on a .
La proba. qu'après étapes le processus ne soit toujours pas fini c'est la somme des coordonnées de , c'est à dire où est le vecteur ligne donc la proba que le processus s'arrête en exactement étapes, c'est et l'espérance du temps d'arrêt, c'est :

C'est à dire la somme des coordonnées du vecteur colonne solution du système et jusque là, ça s'applique à tout les problème de ce type où on cherche l'espérance du "temps de sortie" du processus.

Dans le cas présent, si en colonne, le système donne
(avec pour la dernière équation)
La somme des premières équation donne qui permet de calculer les "en cascade" en partant de (j'ai pas cherché à regarder s'il y avait une "jolie" formule générale avec quelconque)

[Pacotille]

En codant de sorte à souffler des gâteaux à p bougies, je me suis rendu compte d'un "résultat" (conjecture ?) que je ne connaissais pas : la suite qui associe au nombre de bougies à éteindre le nombre d'essais moyens à effectuer est semble t-il géométrique ( et serait de raison proche ou égale à 2).
J'en veux pour motivation de la conjecture le graphique suivant, en échelle logarithmique (sachant que j'ai eu des droites mieux dessinées que celle ici présente)

PS : je n'ai pas l'impression que le fichier joint soit passé. J'essaierai plus tard de le faire passer

Le fichier ne passant pas, voici la suite des rapports entre 2 termes consécutifs de la suite (sachant que la moyenne du nombre de souffles pour chaque p bougies est faite sur 100 essais)
[3.84,
2.776041666666667,
2.0938086303939962,
2.0940860215053765,
1.6872058194266153,
1.8906923662186153,
1.9067739771965126,
2.4127330284910307,
1.5910429483628303,
2.319711186043102,
1.4758101467823228,
2.482444823912939,
2.1928741471661337,
1.7651446839098826,
1.9710174881117386]


Le premier de 3.84 étant à exclure étant donné qu'il s'agit du passage de 1 bougies à 2 bougies. Je pense que je ne peux pas mettre de fichier à cause de mon manque d'ancienneté, mais visuellement en échelle log, ça fait une jolie droite !

[Ben314]

Si tu calcule les valeurs exactes des espérances, tu verra que ce n'est pas une suite géométrique : le rapport entre deux termes est de plus en plus proche de 2, mais pas égal à 2.

[Ben314]

A force, j'ai un truc à peu prés exploitable pour approximer le temps moyen :

Avec toujours bougie, pour , le temps moyen qu'il faut pour passer de l'état " bougies éteintes" à l'état " bougies éteintes" est : (coefficients binomiaux)
Avec évidement , mais le truc un peu moins évident, c'est qu'en fait et, plus généralement, pour tout
Le temps total moyen, c'est donc et, clairement, est proche de , et plus précisément de .

Par exemple, pour , on a