Système...

par **Lostounet** » 02 Aoû 2012, 23:09

Bonjour,

Je cherche à résoudre le système suivant:

Comment procéder?

par **chan79** » 03 Aoû 2012, 09:00

Lostounet a écrit:Bonjour,

Je cherche à résoudre le système suivant:

Comment procéder?

Salut
Déjà une remarque
si (x,y,c) est solution, (-x,-y,-c) est solution
Il s'agit en fait de trouver un triangle équilatéral tel qu'il existe un point M situé aux distances 3, 4, et 5 de ses sommets
ce qui donne c=

ou

ou les opposés
Il y a 4 solutions (triplets (x,y,c))

J'ai utilisé la propriété suivante:
Soit ABC un triangle équilatéral de côté d
Soit M est un point du plan
Si on pose MA=a, MB=b et MC=c, on a l'égalité:

par **Lostounet** » 03 Aoû 2012, 13:02

Hahaha waw t'es trop fort, c'est justement pour ce probleme que je cherche a resoudre ce systeme !!!
C'est vraiment interessant ce que tu me proposes comme piste. Je vais l'exploiter, merci!!!

par **Doraki** » 03 Aoû 2012, 13:31

Tu es amnésique ? Que t'es-t-il arrivé ?

par **Dlzlogic** » 03 Aoû 2012, 13:35

Bonjour,
Dans la relation citée par Chan, il y a un truc que je ne comprends pas (à moins que ce ne soit la solution.
Les valeurs a, b, c, d peuvent subir une permutation circulaire sans rien changer.
Donc on peut construire un triangle équilatéral de côté 5, on peut trouver un point M aux distances 3 et 4 de 2 sommets d'où une 4è valeur. Par homothétie, on en déduit le triangle équilatéral cherché.
[HS] il ne faut pas confondre "mémoire" et "compréhension" [/HS]

par **chan79** » 03 Aoû 2012, 14:49

Dlzlogic a écrit:Bonjour,
Dans la relation citée par Chan, il y a un truc que je ne comprends pas (à moins que ce ne soit la solution.
Les valeurs a, b, c, d peuvent subir une permutation circulaire sans rien changer.
Donc on peut construire un triangle équilatéral de côté 5, on peut trouver un point M aux distances 3 et 4 de 2 sommets d'où une 4è valeur. Par homothétie, on en déduit le triangle équilatéral cherché.
[HS] il ne faut pas confondre "mémoire" et "compréhension" [/HS]

Cette propriété est pourtant connue
Un triangle équilatéral ABC de côté d étant donné, pour tout point M, on a l'égalité en question (a, b, c étant les distances de M aux sommets A, B et C)

par **Black Jack** » 03 Aoû 2012, 14:55

Ou en calculant "bêtement" :

(x-c)² + y² = 25
x² + c² - 2xc + y² = 25
c² - 2xc = 16 (c ne peut pas être = 0)
x = (c²-16)/(2c)

(x-c/2)² + (y - V3.c/2)² = 16
x² + c²/4 - xc + y² + 3c²/4 - V3.cy = 16
c² - xc - V3.cy = 7
c² - (c²-16)/2 - V3.cy = 7
2c² - c² + 16 - 2V3.cy = 14
c² - 2V3.c.y = -2
y = (c²+2)/(2V3.c)

x² + y² = 9
[(c²-16)/(2c)]² + [(c²+2)/(2V3.c)]² = 9
(c²-16)²/(4c²) + (c²+2)²/(12c²) = 9
3.(c²-16)² + (c²+2)² = 9.12.c²
3.(c^4 + 256 - 32c²) + c^4 + 4 + 4c² = 108 c²
4c^4 - 200 c² + 772 = 0
c^4 - 50c² + 193 = 0

c² = 25 +/- V(25²-193) = 25 +/- V432 = 25 +/- 12V3

et donc les valeurs possibles pour c sont :

c = V(25 - 12V3)
c = V(25 + 12V3)
c = -V(25 - 12V3)
c = -V(25 + 12V3)

On trouve les valeurs de x et y correspondantes en remettant ces valeurs de c dans : x = (c²-16)/(2c) et dans y = (c²+2)/(2V3.c)

:zen:

par **Dlzlogic** » 03 Aoû 2012, 15:58

chan79 a écrit:Cette propriété est pourtant connue
Un triangle équilatéral ABC de côté d étant donné, pour tout point M, on a l'égalité en question (a, b, c étant les distances de M aux sommets A, B et C)

Et bien non, je ne la connaissais pas. Je ne l'ai d'ailleurs pas trouvée dans mon formulaire préféré.
Comment ça se démontre, à part avec l'analytique, que représente géométriquement une longueur à la puissance 4, à part des exercices, quelle peut être son application et son utilité ? (je sais je suis très terre à terre).
Dans le présent exercice, j'ai été trompé par les distances 3, 4 et 5 qui sont les côtés d'un triangle rectangle. Mais, ce n'était qu'un piège. :lol3:

par **chan79** » 03 Aoû 2012, 17:18

Dlzlogic a écrit:Et bien non, je ne la connaissais pas. Je ne l'ai d'ailleurs pas trouvée dans mon formulaire préféré.
Comment ça se démontre, à part avec l'analytique, que représente géométriquement une longueur à la puissance 4, à part des exercices, quelle peut être son application et son utilité ? (je sais je suis très terre à terre).
Dans le présent exercice, j'ai été trompé par les distances 3, 4 et 5 qui sont les côtés d'un triangle rectangle. Mais, ce n'était qu'un piège. :lol3:

Il existe une formule (Piero Della Francesca) qui donne le volume d'un tétraèdre en fonction de ses arêtes. Il "suffit" de l'écrire avec comme base un triangle équilatéral et un volume nul. Bon courage :zen:

par **Lostounet** » 04 Aoû 2012, 00:05

Black Jack a écrit:Ou en calculant "bêtement" :

:zen:

Thank you very much

Doraki a écrit:Tu es amnésique ? Que t'es-t-il arrivé ?

Haha, non, je radote. Des problèmes de géométrie. Je suis revenu sur celui-là car il m'a marqué :p

La formule de Chan est très intéressante... Peut-on augmenter le nombre de points?

par **Doraki** » 04 Aoû 2012, 00:08

pour ton système,
développe les carrés
remplace les x²+y² par 9
exprime xc et yc ne fonction de c²
exprime x²c² + y²c² en fonction de c² et c^4
remplace encore x²+y² par 9, et tu trouves l'équation souhaitée sur c².

par **Lostounet** » 04 Aoû 2012, 00:21

Doraki a écrit:pour ton système,
développe les carrés
remplace les x²+y² par 9
exprime xc et yc ne fonction de c²
exprime x²c² + y²c² en fonction de c² et c^4
remplace encore x²+y² par 9, et tu trouves l'équation souhaitée sur c².

Ah sympa, ça nous fait:

yc = 1/;)3 + 2c²/4;)3
xc = -8 + c²/2

Et je sais que y^2c^2 + x^2c^2 = 9c^2 (d'après (1) ). Ce qui nous fait - sauf erreur (très probable):

(1/;)3 + 2c²/4;)3)^2 + (-8 + c^2/2)^2 = 9c^2

Au fait, auriez-vous des systèmes intéressants (ou problèmes de géométrie ) pour mentraîner un peu?

par **Dlzlogic** » 04 Aoû 2012, 12:17

Bonjour Lostounet,
Il y a eu dernièrement un problème qui me parait intéressant, et je ne pense pas que tu y avais participé. Voilà l'exposé.
Soit un quadrilatère dans le plan dont les côtés sont approximativement parallèles aux axes des X et aux axes des Y.
On suppose que les 4 sommets ont une caractéristique numérique, par exemple, une cote Z.
On appelle interpolation bilinéaire, l'interpolation qui permet de déterminer la cote Z d'un point quelconque appartenant au quadrilatère.
Par comparaison, l'interpolation linéaire se fait sur une droite, cette opération est courante et facile dans un triangle.

Cette question se pose dans le contexte informatique. Il y a trois types de résolution possibles.

par **Black Jack** » 04 Aoû 2012, 12:56

Ou le "assez classique", (mais ce n'est pas un système) maintes fois mal résolu de :

Trouver les solutions dans R² de : x^y + y^x = 1

:zen:

par **Lostounet** » 04 Aoû 2012, 18:49

Comment se résout ce truc?

Dlzlogic, je n'ai pas trop compris le problème, je vais chercher le fil :) merci.

par **Dlzlogic** » 04 Aoû 2012, 19:05

Lostounet a écrit:Comment se résout ce truc?

Dlzlogic, je n'ai pas trop compris le problème, je vais chercher le fil merci.

Ah, non, les 3 solutions y sont.
Imagine deux points en plan, qui ont un Z; l'interpolation consiste à trouver le Z d'un point intermédiaire.
Pour le triangle, naturellement on admet que l'interpolation se fait suivant le plan (facette) passant par les 3 points.
Avec un quadrilatère, le principe est le même, mais le calcul est plus intéressant.
J'utilise l'exemple du Z, parce que c'est plus visuel. Ce problème est tout à fait général.

Edit, petite aide pour comprendre le problème : si le point dont on cherche le Z est sur un côté du quadrilatère, pas de problème, c'est une simple interpolation linéaire.
Si le point M est à l'intérieur du quadrilatère, il existe sur chacun des côtés un point satisfaisant l'interpolation linéaire, tel que le segment qui joint deux points de deux côtés opposés et passant par le point M satisfait l'interpolation linéaire. D'où l'appellation d'interpolation bilinéaire.

par **Lostounet** » 05 Aoû 2012, 03:29

Merci Dlzlogic, c'est intéressant. Je n'ai peut-être toujours pas les outils pour aborder ce problème, mais c'est dans pas longtemps!

En fait pour l'équation de BlackJack... Je ne sais pas vraiment comment faire.

x^y + y^x = 1

Si je suppose x = y, cela revient à résoudre: x^x = 1/2 Je ne vois pas trop des entiers comme ça...

Si je suppose x < y (par symétrie), si x est positif ou négatif et pair :
y positif et pair/impaire

x^x < y^x
x^y < y^y

Dans l'espoir de trouver un encadrement tight pour réduire les cas à étudier.

Ce ne sont pas que des entiers qu'on cherche alors bon.
://

par **chan79** » 05 Aoû 2012, 06:52

Lostounet a écrit:Merci Dlzlogic, c'est intéressant. Je n'ai peut-être toujours pas les outils pour aborder ce problème, mais c'est dans pas longtemps!

En fait pour l'équation de BlackJack... Je ne sais pas vraiment comment faire.

x^y + y^x = 1

Si je suppose x = y, cela revient à résoudre: x^x = 1/2 Je ne vois pas trop des entiers comme ça...

Si je suppose x < y (par symétrie), si x est positif ou négatif et pair :
y positif et pair/impaire

x^x < y^x
x^y < y^y

Dans l'espoir de trouver un encadrement tight pour réduire les cas à étudier.

Ce ne sont pas que des entiers qu'on cherche alors bon.
://

Salut
il y a au moins tous les couples (x,0) et (0,y) excepté (0,0)
Sinon, pas facile d'expliciter les solutions :mur:
Par exemple pour y=4, on trouve x=-0,921566.... comme abscisse du point d'intersection de deux courbes mais ce n'est évidemment pas satisfaisant :triste:

par **Dlzlogic** » 05 Aoû 2012, 11:47

Bonjour,
Je ne pense pas qu'il y ait besoin d'outils très compliqués pour résoudre cela.
La solution que je préfère, puisqu'il s'agit d'un contexte informatique, est la recherche par dichotomie.
La seconde, difficile à calculer est la solution analytique, elle a l'inconvénient de supposer a priori que les côtés opposés ne sont pas parallèles.
La troisième, la plus élégante, utilise les faisceaux de droite.

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