Système d'équations

[Euler07]

Bonjour

Quand on résout un système d'équations linéaires à deux inconnues par exemple :

3x + 5y = 4
x - y = 1

On est bien d'accord qu'il s'agit de trouver tous les couples de réels (x,y) vérifiant les deux équations en même temps et non (y,x)
Dans un livre de seconde j'ai vu à deux reprises que les solutions sont inversés, et cela c'est fait quand le système avait pour forme :

5y = 1
2x + y = 4

Est ce normal ?

:livre:

[Dlzlogic]

Bonjour,
A mon avis, ce serait intéressant d'avoir le paragraphe concerné dans sa totalité.
Pour moi (ie avec ma culture) un système d'équations linéaires est un unité indissociable.
Soit il admet UNE solution unique, c'est à dire que le système est vrai si on remplace chaque inconnue par la valeur solution.
Soit il est impossible, si on ne peut pas trouver la valeur pour chaque inconnue.
Soit il est indéterminé si il existe une infinité d'ensemble de valeurs qui vérifie le système. (Ce dernier cas ne s'appelle plus "indéterminé" dans la littérature actuelle.)

Donc l'expression "trouver tous les couples (...) ou tous les ensembles (...)" me parait impropre.
Par contre l'ordre des valeurs est sans importance, puisque, à une inconnue de tel nom, correspond une valeur.

[Euler07]

Bonjour,
A mon avis, ce serait intéressant d'avoir le paragraphe concerné dans sa totalité.
Pour moi (ie avec ma culture) un système d'équations linéaires est un unité indissociable.
Soit il admet UNE solution unique, c'est à dire que le système est vrai si on remplace chaque inconnue par la valeur solution.
Soit il est impossible, si on ne peut pas trouver la valeur pour chaque inconnue.
Soit il est indéterminé si il existe une infinité d'ensemble de valeurs qui vérifie le système. (Ce dernier cas ne s'appelle plus "indéterminé" dans la littérature actuelle.)

Donc l'expression "trouver tous les couples (...) ou tous les ensembles (...)" me parait impropre.
Par contre l'ordre des valeurs est sans importance, puisque, à une inconnue de tel nom, correspond une valeur.

Il s'agissait de résoudre des systèmes pour l'exercice.

5y = 1
2x + y = 4

pour ce système par exemple la correction donne comme couple solution (1/5 ; 19/10)

:livre:

[Dlzlogic]

A mon avis, c'est juste une maladresse de l'éditeur.
D'ailleurs pour moi (1/5 ; 19/20) ne correspond à aucune convention.

[Euler07]

A mon avis, c'est juste une maladresse de l'éditeur.
D'ailleurs pour moi (1/5 ; 19/20) ne correspond à aucune convention.

Je me disais bien c'est pas la seule maladresse de l'éditeur d'ailleurs...

:livre:

[Sylviel]

Il s'agit sans nul doute d'une maladresse de l'éditeur.

On est bien d'accord qu'il s'agit de trouver tous les couples de réels (x,y) vérifiant les deux équations en même temps et non (y,x).

oui.

Par contre l'ordre des valeurs est sans importance, puisque, à une inconnue de tel nom, correspond une valeur.

Oui et non. Un certain nombre d'énoncé commence par "trouver (x,y) tel que ..." à ce moment le couple a été fixé, et donc répondre que l'ensemble des solutions est S = {(1,2), (3,4)} signifie que le système admet comme couple de solution : (x=1 et y = 2) ou (x=3 et y=4).

[Dlzlogic]

Bonjour Syviel,
Si il est noté "trouver (x;y) tel que ..." alors l'ordre, donc le nom, des inconnues est bien précisé.
Par contre les système linéaires qui admettent 2 solutions et seulement deux doivent être assez rares.

PS, en fait le pauvre éditeur, il n'y est pour rien, il se contente de recopier ce que lui a donné l'auteur, pour donne à l'auteur une épreuve pour vérification. Enfin, ce dernier donne le BAT.

[Sylviel]

On peut même dire qu'il n'y a pas de sytème linéaire admettant 2 solutions uniquement. (Pour aller un peu plus loin les solutions d'un système linéaire forment un espace affine, éventuellement vide).
Mais je répondais au niveau des notations (on peut avoir des système d'équation non linéaire...).

Et finalement pour finir c'est tellement habituel (au collège lycée) que les solutions soient notées sous forme de vecteur (x,y) que la notation est souvent sous entendue par les élèves (et parfois par les profs...).

Effectivement c'est la faute de l'auteur plus que de l'éditeur.

[leon1789]

Un système d'équations peut avoir exactement q^d solutions... si on travaille sur un corps fini de cardinal q :lol3:

[leon1789]

.[...]
Soit il est indéterminé si il existe une infinité d'ensemble de valeurs qui vérifie le système. (Ce dernier cas ne s'appelle plus "indéterminé" dans la littérature actuelle.)

Donc l'expression "trouver tous les couples (...) ou tous les ensembles (...)" me parait impropre.
Par contre l'ordre des valeurs est sans importance, puisque, à une inconnue de tel nom, correspond une valeur.

bof... pas une infinité d'ensembles de valeurs, mais une infinité de n-uplets : l'ordre est important dans un n-uplet, il ne l'est pas dans un ensemble.

Résoudre un système linéaire à n inconnues (données nécessairement dans un certain ordre, à moins que le système soit symétrique...), c'est déterminer tous les n-uplets vérifiant simultanément toutes les équations.

En particulier, un 2-uplet s'appelle bien "couple".

[leon1789]

Un certain nombre d'énoncé commence par "trouver (x,y) tel que ..." à ce moment le couple a été fixé, et donc répondre que l'ensemble des solutions est S = {(1,2), (3,4)} signifie que le système admet comme couple de solution : (x=1 et y = 2) ou (x=3 et y=4).

exactement .

D'ailleurs, il faudrait aussi préciser l'endroit (le corps) où on cherche les inconnues :
"trouver tel que ..."

[Dlzlogic]

Il y a tout de même des notions du type "vocabulaire" ou définition qui m'échappent.
Soit un système linéaire de n équations à n inconnues. On admettra qu'il est "ordinaire" c'est à dire conforme aux conditions habituelles.
Qu'appelle-t-on "résoudre le système" ?.
S'il y a 2 inconnues, la solution est constituées de 2 valeurs, pas d'objection à l'appeler couple. S'il y a 3 inconnues on parlera de triplet, si on veut.
Par extension plus de 3 valeurs, j'appelais ça "ensemble", j'aurais pu dire aussi "groupe".

Par contre, j'ai un souci avec cette affirmation :

Résoudre un système linéaire à n inconnues (données nécessairement dans un certain ordre, à moins que le système soit symétrique...), c'est déterminer tous les n-uplets vérifiant simultanément toutes les équations.

Concernant l'ordre, l'ordre des équations ne parait être sans importance, par contre, pour les inconnues, elles doivent avoir un nom, ou un numéro d'ordre (plus pratique à partir de 4), et il me parait évident que les inconnues ne peuvent pas être interchangeables (sauf cas particulier).
En d'autres termes, un système conforme à l'hypothèse citée au début, aurait donc plusieurs solutions ? C'est là qu'est ma question.

[Sylviel]

Sur le vocabulaire il y a beaucoup de vocabulaire en maths et en général un terme correspond à une notion bien précise. Un ensemble de nombre c'est une collection de nombre dont l'ordre n'a pas d'importance (et qui n'as donc pas de répétition), un n-uplet c'est une collection de nombres où l'ordre à de l'importance. C'est une manière de "numéroter" les inconnues et de dire que l'inconnue numéro 1 prend la première valeur du n-uplet, etc... Par contre le terme groupe est réservé à autre chose en maths.

En d'autres termes, un système conforme à l'hypothèse citée au début, aurait donc plusieurs solutions ? C'est là qu'est ma question.

On admettra qu'il est "ordinaire" c'est à dire conforme aux conditions habituelles.

Tu admettras que ton hypothèse est pour le moins floue... Et de plus on t'a déjà répondu à cette question plusieurs fois.
Restons avec des inconnues réelles (bien vu Léon pour les corps fini mais je pense qu'on peut les écarter de la discussion). Alors un système linéaire admet comme ensemble de solution un espace affine. Qu'est ce que cela signifie ? Et bien il y a trois possibilités :
- il n'y a pas de solution
- il y a une solution unique
- il y a une infinité de solutions. Et dans ce cas il suffit d'en connaître un nombre fini pour pouvoir construire toutes les autres.

Pour développer un peu cela tu te rappelle notre discussion sur les matrices, qui est bien pratique ici. Soit le système
Ax = b
(A est une matrice, x un vecteur colonne de n inconnues et b le membre de droite du système qui comporte m éléments)
Soit x0 une solution du système :
A x0 = b
Soit x1 un élément du noyau de A, c'est à dire tel que A x1 = 0, alors on voit de manière évidente que
A(x0+ x1)= A x0 + A x1 = b + 0 = b
donc que x0 + x1 est une solution du système.

Et pour la remarque de Léon si les inconnues ne sont pas à chercher dans R mais dans des ensembles plus compliqués, alors le système linéaire peut avoir un nombre fini de solutions distinctes. Mais je pense vraiment qu'il vaut mieux ne pas rentrer dans cette discussion là.

[Dlzlogic]

Merci Sylviel,
Je suis sûr que cette réponse correspond exactement à ce qu'attendait Euler07.

- il n'y a pas de solution
- il y a une solution unique
- il y a une infinité de solutions.

Merci de confirmer ce que j'ai dit dans un précédent message.
Donc, tout va bien, nous sommes d'accord.
Pour mémoire, les matrices constituent un outil de calcul et non une réalité.
Pour résoudre un système linéaire, c'est à dire trouver les valeurs pour les inconnues, si elles existent et si elles sont uniques, j'ai eu beau expliquer à ma machines que les matrices existaient, elle ne veut rien savoir et ne connait que les opérations mathématiques de base (pour simplifier). Donc pour elle, et pour moi aussi, puisque j'ai confiance, pour un système d'équations linéaire, soit il y a pas de solution, soit une infinité de solutions (système indéterminé) ou, plus généralement une solution unique, pour la bonne raison que si on cherche à résoudre un système, c'est pour trouver la solution, encore une fois, la solution unique.

[Sylviel]

Pour mémoire, les matrices constituent un outil de calcul et non une réalité.

tout comme les nombres, les fonctions, les vecteurs ou n'importe quel objet mathématiques. Les matrices sont des objets mathématiques (donc des constructions abstraites) et ont de très nombreuses applications.

Pour résoudre un système linéaire, c'est à dire trouver les valeurs pour les inconnues, si elles existent et si elles sont uniques

C'est restrictif comme condition de demander l'unicité pour résoudre un système linéaire.

, j'ai eu beau expliquer à ma machines que les matrices existaient, elle ne veut rien savoir et ne connait que les opérations mathématiques de base (pour simplifier)

Et bien c'est que tu ne sais pas te servir de ta machine, ou du moins que tu ne te sers pas des bons outils. Il y a des langages entiers optimisé pour une utilisation intensive des matrices et des vecteurs (matlab / scilab...), et tous les langages de programmation qui se respecte un minimum ont des librairies d'algèbre linéaire (tu fais du C je crois, tu peux regarder BLAS, LAPACK, GSL etc...).

Donc pour elle, et pour moi aussi, puisque j'ai confiance, pour un système d'équations linéaire, soit il y a pas de solution, soit une infinité de solutions

Mais là dessus on est tous d'accord (tant que tes inconnues sont bien des réels et pas des trucs plus tordus). Que l'on parle de matrice ou non.

La différence entre tes propos et les miens se fait sur le cas "infinité de solutions" où j'essaie de te dire que oui il y en a une infinité mais on peut quand même la décrire simplement. Tout comme un plan a une infinité de point mais peut se décrire simplement (i.e avec un nombre fini de caractéristique par exemple 1 point et 2 vecteurs indépendants du plan).

si on cherche à résoudre un système, c'est pour trouver la solution, encore une fois, la solution unique.

Ben là je ne suis pas d'accord. Ce n'est pas toujours le cas. Un exemple : je cherche à décrire l'instersection de deux plans non parallèle. C'est un système linéaire qui possède une infinité de solutions : l'ensemble des solutions est une droite.

De manière générale tu as un point de vue restrictif sur les maths avec des affirmations du genre "je n'ai jamais vu l'utilité des matrices c'est donc qu'elle n'en ont pas", "si un système linéaire est indéterminé on ne peut rien en dire" etc... Un peu d'humilité te ferait voir que si ces notions sont très largement étudiés, enseignées, implémentées dans de nombreuses librairie de calculs c'est qu'elles ont une utilité.

Tout ce que je veux dire ici c'est que chercher à déterminer l'ensemble des solutions d'un système linéaire a de l'intérêt dans un certain nombre de cas. Il y a bien d'autres exemples que l'intersection de deux plans malheureusement ceux qui me viennent à l'esprit (typiquement déterminer un sous-espace propre) demande un minimum de maîtrise d'algèbre linéaire pour en comprendre l'intérêt...

[Dlzlogic]

Oui, d'accord pour tout.
L'intersection de deux plans est un bon exemple, la solution du système est unique : une droite.
Le seul point sur lequel je voudrais insister, c'est que lorsqu'il s'agit d'un problème réel, palpable, nécessaire etc. il n'y a plus personne cf. calage de plans avec 12 points de base. Demande Léon. Les notions et outils mathématiques à connaitre pour résoudre ce problème (difficile, je te l'accorde) sont la méthode des moindres carrés et la résolution de système linéaire.
Dans le monde réel, un système linéaire (sauf impossibilité ou indétermination) n'a qu'une solution.

[leon1789]

Pour mémoire, les matrices constituent un outil de calcul et non une réalité.
Pour résoudre un système linéaire, c'est à dire trouver les valeurs pour les inconnues, si elles existent et si elles sont uniques, j'ai eu beau expliquer à ma machines que les matrices existaient, elle ne veut rien savoir et ne connait que les opérations mathématiques de base (pour simplifier).

Chacun sa réalité.
Et lorsqu'une machine ne veut rien comprendre, c'est qu'on lui explique mal... (je n'ai jamais vu de machine ayant un blocage psychologique sur des notions de maths.)
Les matrices sont un outil incontournable, pour les raisonnements, mais surtout pour les calculs.

Donc pour elle, et pour moi aussi, puisque j'ai confiance, pour un système d'équations linéaire, soit il y a pas de solution, soit une infinité de solutions (système indéterminé) ou, plus généralement une solution unique, pour la bonne raison que si on cherche à résoudre un système, c'est pour trouver la solution, encore une fois, la solution unique.

juste un exemple... Cela se voit que tu n'as jamais étudié ce que l'on appelle "la réduction des endomorphismes" : vecteurs propres et compagnie, sont le quotidien des étudiants en licence scientifique, et justement, quand on cherche des vecteurs propres, on a toujours des systèmes ayant plein de solutions !
Une matrice inversible, c'est intéressant, mais une matrice non inversible (carrée ou pas) aussi, évidemment.

[Sylviel]

Bon je vois que tu refuses une fois de plus d'admettre qu'il y a plus dans le monde que les choses que tu connais (ou crois connaître)...

Cette phrase est une absurdité :

'intersection de deux plans est un bon exemple, la solution du système est unique : une droite.

Dis moi où tu n'es pas d'accord ?

Dans l'espace R^3, les coordonnées étant noté comme d'habitude x,y et z. Es-tu d'accord que z=0 est une équation de plan ? Que x+y+Z=0 est une autre équation de plan ? Donc rechercher l'intersection c'est rechercher les points qui vérifie le système
z=0
x+y+z=0
?

L'ensemble des solutions est décrit par une droite avec
x= t
y = -t
z= 0
pour t parcourant R.

Donc il y a une infinité de solutions et non unicité.

Le seul point sur lequel je voudrais insister, c'est que lorsqu'il s'agit d'un problème réel, palpable, nécessaire etc. il n'y a plus personne

Affirmation complètement gratuite. Sur ton problème de calage on t'a entièrement répondu. J'ai encadré un TP sur un problème de reconnaissance de surface à partir de données radars autrement plus compliqué que ce que tu proposais. Donc ne viens pas dire qu'on plane complètement hors du champs applicatif...

Dans le monde réel, un système linéaire (sauf impossibilité ou indétermination) n'a qu'une solution.

Mais tu tourne en boucle là ! Je n'ai pas dis le contraire. Je dis que s'il y a indétermination on peut quand même dire des choses. Et que des systèmes indéterminés on en résouds dans de nombreuses applications (exemple : intersection de plans) car même s'il y a une infinité de solution on peut la décrire.

[leon1789]

Oui, d'accord pour tout.
L'intersection de deux plans est un bon exemple, la solution du système est unique : une droite.

que racontes-tu ??? tu confonds l'ensemble solution (la droite) et ses éléments (les points) !
Oui, il n'y a qu'un ensemble solution (on demande de déterminer l'ensemble solution d'une équation ou d'un système), mais bien évidemment, une droite représente une infinité de couples solutions.

Ce que tu écris confirme bien le souci de ton manque de théorie que l'on a déjà constaté récemment ici http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/592426-matrices.html#post4436754

Le seul point sur lequel je voudrais insister, c'est que lorsqu'il s'agit d'un problème réel, palpable, nécessaire etc. il n'y a plus personne cf. calage de plans avec 12 points de base. Demande à Léon. Les notions et outils mathématiques à connaitre pour résoudre ce problème (difficile, je te l'accorde) sont la méthode des moindres carrés et la résolution de système linéaire.
Dans le monde réel, un système linéaire (sauf impossibilité ou indétermination) n'a qu'une solution.

Ca, c'est l'exemple typique de tes délires et ta croyance en une totale opposition des maths enseignées et ton monde réel.

Et puisque tu parles du problème de calage, je donne la référence : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/593476-calage-geographique.html
La première difficulté y est de comprendre ton problème que tu n'as pas voulu expliquer clairement, en préférant le donner dans un cadre totalement général impossible à résoudre. Chacun y constatera que tu n'as pas compris un certain nombre d'objections de trois personnes.
Et quand on commence à entrevoir la situation simple de ton problème très mal exposé, c'est toi qui demandes à arrêter la discussion (voir le dernier message de la discussion citée). Ainsi, personne n'a compris ton problème et personne n'a vu ta super solution générale. Je me demande même pourquoi tu avais ouvert cette discussion : surement pour dire que tu savais résoudre un problème très compliqué (comme tu viens de le dire à nouveau dans la discussion aujourd'hui, qui n'a aucun lien avec tes histoires).
C'est là l'explication de ton "il n'y a plus personne" !

[Dlzlogic]

Bon, je viens de lire ton message, Sylviel, j'avais tapé une belle argumentation, mais j'ai tout effacé, peine perdue.
Pour mémoire, peux-tu, tout de même, me citer une phrase constructive concernant le calage de plan ? (référence citée par Léon)
J'ai lu aussi le message de Léon, alors, pour information, le problème s'est d'abord posé pour le calage sur une surface plus petite. Problème connu, peut-être pas pour Léon. Là le problème se posait pour une surface plus grande.
C'était plus difficile, ça me paraissait intéressant. Manifestement pas.