Statistiques et médiane

[michaaa001]

:we: Bonjour,

J'ai un gros problème. Il porte sur les statistiques et plus particulièrement sur la médiane.
Mon prof m'a donné cette définition. La médiane est une valeur telle que le nombre d'observations qui lui sont inférieures sont égales au nombres d'observations qui lui sont supérieures. Seulement voilà au début tout est simple. Je vous donne un exemple.
Ex:3,4,5,7,10,13,15.---La médiane est ici 7:3 observations inférieures et 3 supérieures.
Mias voici le problème: 3,6,7,8,8,8,9. --La médiane est ici 8. Mais il y a 3 observations inférieures à 8 et 1 supérieure(puisque le 8 est déjà pris, il ne reste que le 9 1 fois).
De même, pour un tableau j'ai ceci(désolé pour la lisibilité)
xi ni Ni

1 2 2
2 5 7
5 15 22
6 8 30

Donc la médiane est ici 5. Je vous passe le calcul, je me doute que vous etes experts là-dedans. Seulement voilà, 7 observations sont inférieures a 5 et 8 lui sont supérieures. Je trouve ca vraiment abérant.
Ma questions est la suivante: est-ce que les informations doivent être supérieures ou égales ou strictement supérieures à la médiane? Parce que si c'est supérieur ou égal, il y a moyen d'avoir les mêmes valeurs mais si c'est uniquement inférieur ou supérieur, ca ne marche pas.Merci de m'aider.


*** message déplacé ***
posté le 20/06/2006 à 09:23statistiques et médiane
posté par : michaaa001
Bonjour,

J'ai un gros problème. Il porte sur les statistiques et plus particulièrement sur la médiane.
Mon prof m'a donné cette définition. La médiane est une valeur telle que le nombre d'observations qui lui sont inférieures sont égales au nombres d'observations qui lui sont supérieures. Seulement voilà au début tout est simple. Je vous donne un exemple.
Ex:3,4,5,7,10,13,15.---La médiane est ici 7:3 observations inférieures et 3 supérieures.
Mias voici le problème: 3,6,7,8,8,8,9. --La médiane est ici 8. Mais il y a 3 observations inférieures à 8 et 1 supérieure(puisque le 8 est déjà pris, il ne reste que le 9 1 fois).
De même, pour un tableau j'ai ceci(désolé pour la lisibilité)
xi ni Ni

1 2 2
2 5 7
5 15 22
6 8 30

Donc la médiane est ici 5. Je vous passe le calcul, je me doute que vous etes experts là-dedans. Seulement voilà, 7 observations sont inférieures a 5 et 8 lui sont supérieures. Je trouve ca vraiment abérant.
Ma questions est la suivante: est-ce que les informations doivent être supérieures ou égales ou strictement supérieures à la médiane? Parce que si c'est supérieur ou égal, il y a moyen d'avoir les mêmes valeurs mais si c'est uniquement inférieur ou supérieur, ca ne marche pas.Merci de m'aider.

[Escarpe]

La médiane (au même titre que les quartiles) ne tient pas compte des valeurs, comme sa définition l'indique. Elle se base sur la quantité d'observations (les observations doivent être ordonnées).
Si on prend la série d'observations suivante: 1, 1, 1, 1, 1, 5, 12, la médiane est 1 car il y a 7 valeurs ordonnées et que la 4ème (la médiane donc au rang ) est 1.
Dans le cas d'un nombre pair d'observations, la médiane est la moyenne de la valeur de rang juste inférieur et de celle de rang juste supérieur. Par exemple: 1, 3, 4, 4, 7, 9, 12, 13, le rang médian est de 4.5 donc la médiane est
A noter que la médiane et les quartiles sont plutôt adaptés aux distributions asymétriques car ces mesures sont peu sensibles aux valeurs extrêmes.
A l'inverse, ce n'est pas adapté aux distributions normales.

[michaaa001]

oui, merci ca je sais.j'ai les formules aussi. Mais ce que je vous demande; vous me dites que la 4 eme observation est 1. La médiane est donc 1.Mais à droite de la médiane, il n'y a pas le même nombre d'observations qu'à gauche.La preuve?1, 1, 1, 1, 1, 5, 12 ( votre exemple). La médiane est une valeur( ici 1).Je dois avoir autant de valeur (observations) à gauche de ma médiane que à droite. En l'occurence si ma médiane est 1, je dois avoir d'autres chiffres plus petits à gauches, et d'autres plus petits à droite.Or à gauche de 1, il n'y a que des chiffres qui correspondent à la veleur de ma médiane(1). Je n'ai donc pas comme le dit la définition (autant d'oservations inférieures à ma médiane que d'oservations supérieures...) , si?

[BancH]

Définition de Wikipédia:

la médiane est un nombre qui divise en deux parties la population. Chaque partie contient le même nombre de valeurs.

[Jacques Lavau]

De même, pour un tableau j'ai ceci(désolé pour la lisibilité)
xi ni Ni

1 2 2
2 5 7
5 15 22
6 8 30

Donc la médiane est ici 5. Je vous passe le calcul, je me doute que vous etes experts là-dedans. Seulement voilà, 7 observations sont inférieures a 5 et 8 lui sont supérieures. Je trouve ca vraiment aberrant.
...

Tu as oublié de la ranger, ta liste en tableau.
12 éléments, donc la médiane est la moyenne entre le 6e et le 7e, après rangement.
1 2 2
2 5 5
6 7 8
15 22 30

La moyenne entre 5 et 6 est 5,5 : voilà ta médiane.

[michaaa001]

Non mais, je vais essayer d'etre plus clair. Voilà un exemple typique de mon cours.

xi ni Ni

0 65 65
1 75 140
2 200 340
3 100 440
4 50 490
5 10 500

Médiane: x :2

Nombre d'observations inférieures à x:2-- 140/500---0;28---28/100
Nombre d'observations supérieures à x:2--- 160/500--- 0,32--32/100
Nombre d'oservations égales à x: 200/500---0,40--40/100

Médiane dénuée de sens car il n'y a pas autant de valeurs inférieures à la médiane que supérieures ( et c'est ici que je vous demandais si inférieure signifiat strictement inférieure---Et apparemment oui).
Cependant dans tous les exercices que j'ai, la médiane ne peut jamais être bonne puisqu'il n'y a jamais autant de valeurs strictement inférieures que de valeurs strictement supérieures à la médiane.
Je reprends un exemple bête: Ex:1,5,5,5,5,8,9,: médiane vaut 5.
Ok... mais vous voyez comme moi qu'il n'y a pas autant d'oservations inférieures que supérieures à la médiane. Inférieur à x :5 égal 1 supérieur à x5 égal 8 et 9. 1 observation inférieure et 2 supérieures à la médiane.
Ou ai-je mauvais.corrigez-moi svp.Encore merci

[Escarpe]

J'ai l'intuition que le tableau de michaaa001 contient les rangs, les valeurs et les fréquences. Je me trompe ?
Auquel cas, il faut intégrer les fréquences dans le calcul.

Dans l'exemple que tu donnes, la médiane vaut 5:


C'est "ce 5 là" dont il est question car il est à la limite des 2 ensembles qui contiennent la même quantité de valeurs.

Si on introduit les fréquences des valeurs, le calcul doit intégrer ces fréquences:

Dans ce cas, on utilise la fréquence pour déterminer la médiane: la somme des fréquences vaut 7, on cherche donc la valeur pour laquelle la somme des fréquences en partant du plus petit rang vaut 3.5. Dans le cas présent, la valeur correspondante est 5.

[michaaa001]

Ce qui me pose probleme ici est plus subtile. En fait si j'ai ceci comme classement "1-2-3-5-5-5-6" la médiane est ici 5, on est ici tous d'accord.Suivant cette définition "le nombre d'observations ayant une valeur inférieure à la médiane est égale au nombre d'oservations présentant une valeur supérieure à la médiane" si ma médiane est 5, combien ai-je d'élément à gauche de 5? 3(1-2-3).Et à droite de 5? 1 seule puisque les 2 valeurs a droite de 5 sont 5, et puisque 5 est la médiane, ces deux 5-là font partie de la médiane aussi, non?Puisque les observations supérieures strictement à la médiane doivent être pareilles à gauche qu'a droite, il n'y a ici que 3 observations présentant une valeur inférieure a la médiane et 1 seule supérieure.Voyez-vous ce que je veux dire? Si vous n'arrivez pas à poster sur le forum, pouvez-vous prendre mon adresse msn et m'ajouter pour en parler( je vous supprimerai des que la conversation sera finie, c'est juste pour mon examen de demain).SVP c'est urgent.Merci

[rene38]

Bonjour

[font=Arial]On appelle médiane d'une série statistique toute valeur M qui partage le groupe étudié en deux sous-groupes de même effectif, chacun tel que : [/font]

• tous les éléments du premier groupe ont des valeurs inférieures ou égales à M.
• tous les éléments du deuxième groupe ont des valeurs supérieures ou égales à M.

Avec cette définition, une médiane est rarement unique : par exemple, si on a 4 notes, 10,12,14,16, alors toute valeur comprise entre 12 et 14 est une médiane possible. On détermine souvent une médiane en prenant l'intersection des courbes à effectif cumulé (une à effectifs cumulés croissants, l'autre à effectifs cumulés décroissants).

[michaaa001]

je veux encore démontrer une chose. Ici, si je prends une série classée comme suit:

xi ni Ni
1 2 2
2 2 4
3 1 5
5 2 7
7 3 10
9 1 11

La médiane est ici 7. Si l'on considère comme mon professeur, 5 observations sont inférieures à la médiane et 4 lui sont supérieures. Or si l'on reclasse tout cela par série brute, on a :1-1-2-2-3-5-5-7-7-7-9 la médiane est ici le 5 que j'ai mis en gras et souligné. On remarque qu'il y a ici 5 observation inférieure à cette médiane et 5 supérieure (en prenant les deux 5 de chaque coté de la médiane). Il en va ainsi que je ne me repère pas face à ce problème et que j'ai quand même un examen universitaire à passer ( etça, je ne le comprends pas du tout). Pouvez-vous m'expliquer plus dans les détails mais pas en langage trop mathématique, car ce n'est pas mon option principale.Merci.

[Escarpe]

Je crois que tu tiens le bon bout: ce qui compte n'est pas la valeur mais la quantité de valeurs à droite et à gauche de la médiane.

Si on prend un sac de carottes qui ne font pas toutes la même taille et que l'on considère la taille comme discriminant, et que l'on veut faire deux tas avec un nombre égal de carottes (à une carotte près), sachant qu'au final on va jeter les plus petites (disons que c'est une méthode de criblage arbitraire), on va commencer par les trier par taille puis les compter et faire deux tas comptant le même nombre de carottes. Il y a fort à parier qu'un certain nombre de carottes soient de taille moyenne. Dans ce lot de carottes moyennes, on en choisira un certain nombre pour équilibrer la quantité de carottes dans chaque tas constitué d'une part des plus petites et d'autre part des plus grandes, mais il n'y a pas de critère de sélection particulier pour les différencier. La taille de ces carottes moyennes est la médiane.

Par rapport à ton tableau, peux-tu nous expliquer ce que représentent xi, ni et Ni?
J'ai l'impression que les xi sont les valeurs, ni les fréquences et Ni la somme des fréquences en de 0 à i (si on considère des index de ligne commençant à 0).

Et je maintiens que 5 est bien la médiane selon ces hypothèses, comme tu le présentes toi même.

Comme je l'explique plus haut, il faut différencier le cas d'un nombre impair de valeurs du cas d'un nombre pair de valeurs.

[michaaa001]

NI: effectifs, fi: fréquences et Fi fréquences cumulées.Oui ce que je dis est bon mais dans 1,2,5,5,6,7,8 si la médiane est 5, il n'y a pas le même nombre de "carottes comme vous le dites. Je vois 2 carottes plus petites à gauche et 3 carottes plus grandes à droite. En effet, il y a une carotte qui est identique a la médiane(le 5 qui est la 3eme observation en partant de la gauche). Des lors, comment considère-t-on cette valeur? Comme étant elle aussi la médiane? Merci de m'aider.Dubois.

[Escarpe]

La valeur de la médiane est 5 car le nombre de valeur est impair. Donc oui, d'une certaine façon, les deux 5 sont sur la médiane. Mais encore une fois, seule compte la quantité de valeurs.

Prenons le cas d'un nombre pair de valeurs, maintenant:

premier exemple 1,2,5,5,6,7,8,9 (j'ajoute 9)
dans ce cas ci, la médiane se situe "entre" deux sous-ensembles de 4 valeurs: 1,2,5,5 et 6,7,8,9. On pourrait donc donner à la médiane n'importe quelle valeur entre 5 et 6. Par convention on prend habituellement la moyenne des deux valeurs de part et d'autre de la médiane pour lui donner une valeur, ici 5.5.

second exemple 1,2,5,5,5,6,7,8 (j'ajoute un 5 de plus)
cette fois encore, on a les deux sous ensembles: 1,2,5,5 et 5,6,7,8.
On le constate, la valeur de la médiane est 5 puisque c'est la seule valeur que l'on peut choisir "entre" les deux ensembles.

Le principe de la médiane repose sur les indices des valeurs dans un tableau trié.
La valeur de la médiane n'est normalement pas utilisée pour construire les sous-ensembles.
Mais la valeur de la médiane est une donnée statistique comme l'est la moyenne des valeurs.