A quoi sevent les équations diff

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Ray
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A quoi sevent les équations diff

par Ray » 16 Mar 2021, 00:05

Bonjour,
j'en ai marre que l'on me donne des exemples pour m'expliquer à quoi dervent les équations différentielles. Je veux du concret. On m'a dit "L'oscillation d'un pendule, d'un ressort ou de la corde d'un violon est solution d'une équation différentielle. " d'accord, mais je ne sais toujours pourquoi. Si quelqu'un pouvait faire preuve de pédagogie ( car je sais qu'il faut avoir des bases que je n'ai pas car je suis en terminale mais je veux comprendre) et m'expliquer en détail je le remercierais infiniment (en + l'infini plutôt qu'en - l'infini).



phyelec
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Re: A quoi sevent les équations diff

par phyelec » 16 Mar 2021, 01:12

Bonjour,

C'est normal que cela te paraisse difficile . Le formalisme des équations différentielles a été inventé par Newton (1642-1727). C'est le début de la physique moderne. Pour nous c'est avant hier mais depuis l'antiquité les physiciens avaient essayé de mettre en équations divers problèmes de
mécanique et de géométrie, mais ils n'avaient pas de formalisme pour leurs mises en équation avec une méthode de résolution mathématique générale pour chaque de problème

Donc au départ, c'est à cause des problèmes que les physiciens voulaient résoudre. Maintenant tu sais à qui tu dois te plaindre.
Par exemple ( je schématise) pour la chute d'un corps ( sans frottement) , on sait qu'il est soumis à une force qui est le poids P ( merci Newton) et qui vaut P=mg où m est sa masse et g est la constante de gravitation.
Mais on peut se demander , si on l'a lâché du haut d'un immeuble, à quelle vitesse il tombe et si on dit qu'à t=0 on l'a lâché quand est-ce qu'il est arrivé en bas?

On a trouvé (par la mesure) une relation entre l’accélération et la dérivée de la vitesse en fonction du temps t : v'(t)=g c'est une équation différentielle simple. On en déduit que v(t)= gt ( pour une vitesse initiale nulle) et la position , pour une position initiale à 0.

pour le ressort : dont la solution mathématique est où t est le temps

phyelec
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Re: A quoi sevent les équations diff

par phyelec » 16 Mar 2021, 01:21

En gros c'est en mettant en équation des problèmes de physique que l'on voulait résoudre qu'on est "tombé" sur des équations différentielles, c'est alors que les mathématiciens sont venus en aide aux physiciens pour formaliser tout cela et leur permettre de valider ce qu'ils avaient trouvé par l'expérience.

En physique, les équations mathématique d'un problème représente un modèle du comportement du phénomène physique observé. Ce modèle permet de conduire des calculs, par exemple " à quelle le train va arrivée à la gare ". Si le modèle est faux on ne trouvera pas la bonne valeur pour l'heure d'arrivée en gare.

hdci
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Re: A quoi sevent les équations diff

par hdci » 16 Mar 2021, 09:54

Pour compléter pour l'oscillation du pendule : il y a conservation de l'énergie, donc quand le pendule est écarté d'un angle alpha de son axe vertical, il est un peu plus haut donc il a une énergie potentielle donnée par mgh où h est cette hauteur qu'on peut exprimer en fonction de l'angle alpha, en prenant comme référentiel la postition du pendule au repos.

Quand on lâche le pendule, il est soumis à plusieurs force : la force de gravitation, mais également la force exercée par le fil auquel il et attaché qui l'empêche de tomber verticalement. Il accélère donc en suivant l'arc de cercle jusqu'à sa position verticale où il a à ce moment une énergie potentielle nulle (puisque le référentiel était cette position) et une énergie cinétique (vecteur vitesse horizontal car tangent au cercle).
Par conservation de l'énergie il continue donc son mouvement pour remonter, et on voit qu'il y a en permanence échange d'énergie : potentiel vers cinétique, cinétique vers potentiel.

Quand on met tout cela en équation, sachant qu'on cherche à décrire le mouvement, donc la position du pendule en fonction du temps (en décomposant sur les axes : horizontal / vertical, on a donc un x(t) pour la position horizontale, et un y(t) pour la position verticale), et sachant que la force produit une accélération (force divisée par masse), que l'accélération est la dérivée de la vitesse, que la vitesse est la dérivée du mouvement, le tout projeté sur chacun des axe, on a donc une équation différentielle sur chaque axe décrivant x(t) et y(t) : équation faisant intervenir x'(t) et x''(t), y'(t) et y''(t).

Que l'on peut "transformer" en une équation différentielle de la fonction theta(t) qui est l'angle formé par le pendule en fonction du temps, avec comme condition initiale qu'à t=0 l'angle est égal à alpha.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

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