A propos de la diversité des Alephs

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
hdci
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 30 Oct 2018, 15:35

Bonjour,
Mathématiquement, cela n'a pas de sens. L'infini n'existe pas dans le monde concret, l'infini est donc un objet mathématique créé "de toute pièce" pour représenter certaines choses : la limite de 1/x quand x tend vers 0, ou bien la borne supérieure de , etc.

Les opérations arithmétiques sont parfaitement définies sur des nombres réels. Elles sont d'abord (historiquement) intuitivement identifiées (car on voit bien que si j'ajoute deux cailloux à un tas de cailloux qui en contient 23, au total il y en a 25), puis elle de façon très formelle, les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, l'addition se définit par récurrence (n+0=n et n+[suivant de p])=suivant[n+p]), et la multiplication de même (n x 0 = 0 et n x [suivant de p] = n x p + n).
On construit alors les entiers relatifs par des classes d'équivalence sur et on constate (ou on prouve) que les opérations arithmétiques sont compatibles avec ces classes.
On construit de même les rationnels, puis les réels (ce dernier cas étant un peu plus "trapu").

Dans tous les cas on a parfaitement défini les opérations arithmétiques, et la soustraction n'est rien autre que l'addition d'un opposé, comme la division n'est autre que la multiplication par l'inverse.

Quand on ajoute "aleph", c'est-à-dire un cardinal, on est obligé de revenir à la construction des ordinaux : est l'ensemble de tous les ordinaux dits "finis", puis on construit les ordinaux suivants d'une façon judicieuse (on dit "transitive"), etc.
Le truc c'est que les ordinaux ne sont pas signés : le plus petit des ordinaux, c'est zéro et tous les ordinaux lui sont supérieurs.
On ne peut donc pas définir la soustraction comme l'addition de l'opposé puisque l'opposé d'un ordinal n'existe pas.
Les cardinaux étant des ordinaux particuliers, on y retrouve la même règle.

Maintenant, libre à quiconque de vouloir définir une soustraction dans les ordinaux : mais cela suppose d'en définir précisément les règles (de la même façon qu'on a défini l'addition comme n+0=n, n+(p+1)=(n+p)+1) puis d'en analyser les différentes propriétés. Ce n'est qu'à partir de ce moment que la soustraction a "un sens".
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.



grantstewart
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 30 Oct 2018, 17:48

Cela y est, cher hdci, j'ai compris, notamment grâce à ces trois phrases :
hdci a écrit:- Le truc c'est que les ordinaux ne sont pas signés : le plus petit des ordinaux, c'est zéro et tous les ordinaux lui sont supérieurs.
- On ne peut donc pas définir la soustraction comme l'addition de l'opposé puisque l'opposé d'un ordinal n'existe pas.
- Les cardinaux étant des ordinaux particuliers, on y retrouve la même règle.


Merci pour ta brillante intervention, hdci.
Toutefois,
je ne suis pas d'accord avec ton opinion suivante :

hdci a écrit:L'infini n'existe pas dans le monde concret, l'infini est donc un objet mathématique créé "de toute pièce" pour représenter certaines choses : la limite de 1/x quand x tend vers 0, ou bien la borne supérieure de , etc.


Je crois que l'Univers contient une infinité de vide spatial et d'objets stellaires, ce qui correspond à de l'infini concret ! Et, plus précisément :
- un vide spatial -ω,
- des objets stellaires .

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Ben314
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par Ben314 » 30 Oct 2018, 18:13

grantstewart a écrit:
Ben314 a écrit:C'est pas pour rien que Cantor (le père des cardinaux) a créé autant de controverse à son époque et que beaucoup de ces contemporains dont de très très illustre mathématiciens de l'époque considéraient que c'était totalement délirant comme point de considérer comme formant "un tout" une collection infinie d'objets.

Ben314, tu ne réponds, là, aucunement à ma question, qui est la suivante :
Est-il possible d'écrire , , ... ?
Ben si, je répond on ne peut plus parfaitement à ta question : si tu avait ne serait que vaguement compris ce qu'est un cardinal, tu saurait que -1, -2 et -3 ne sont pas des cardinaux donc que tes soustractions sont "sans queue ni tête".
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par Ben314 » 30 Oct 2018, 18:23

hdci a écrit:Maintenant, libre à quiconque de vouloir définir une soustraction dans les ordinaux : mais cela suppose d'en définir précisément les règles (de la même façon qu'on a défini l'addition comme n+0=n, n+(p+1)=(n+p)+1) puis d'en analyser les différentes propriétés. Ce n'est qu'à partir de ce moment que la soustraction a "un sens".
A mon sens, ça, tu peut et ce n'est pas tellement difficile : dans N, il n'y a pas d'opposé, mais on peut "définir" la soustraction A-B comme étant l'éventuelle solution de l'équation B+X=A. Et, à mon sens, cette définition est "plus proche de l'intuition" que celle consistant à ajouter l'opposé : Même si on ne connaît pas les négatifs, ça me semble normal de savoir résoudre à l'école des problèmes concret du style :
"J'ai 20 Euros et j'achète un truc à 7 Euro. Il me reste combien ?"

Bref, dans le cas des cardinaux (ou des ordinaux), on peut tenter de "poser" cette définition "naturelle".
Sauf que, dans le cas des ordinaux, comme l'addition n'est pas commutative, on est déjà dans la m... pour savoir si on prend l'équation B+X=A ou si on prend X+B=A et que, dans le cas des cardinaux, on est aussi dans la m... du fait que, s'il y a une solution, ben elle est pas forcément unique.
Modifié en dernier par Ben314 le 30 Oct 2018, 18:30, modifié 1 fois.
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hdci
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 30 Oct 2018, 18:30

@ben314 : tout à fait d'accord, c'est bien là l'idée "à condition d'en définir précisément les règles".

Et bien d'accord avec toi sur la suite ("on est dans la m...") car cela ne se comporte pas du tout comme l'addition et la soustraction "naturelle"...
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 30 Oct 2018, 20:01

Ben314 a écrit:si tu avait ne serait que vaguement compris ce qu'est un cardinal, tu saurait que -1, -2 et -3 ne sont pas des cardinaux donc que tes soustractions sont "sans queue ni tête".


Touché, Ben314. J'ai compris pourquoi on n'écrit donc pas
, , .

Et j'ai ainsi compris pourquoi, dans Wikipedia, on ne parle aucunement d'
, , .

Merci, Ben314 et hdci….

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 31 Oct 2018, 15:19

Passons à un autre problème.
J'essaye de trouver le moyen le plus efficace afin d'écrire le plus grand cardinal possible.
Les Flèches de Knuth sont-elles compatibles avec les Alephs ?

Notons

avec = Flèche de Knuth

?
ou bien
?

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Ben314
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par Ben314 » 31 Oct 2018, 17:30

Tu peut m'expliquer ce que ça t'apporte (où ce que tu espère que ça va t'apporter) d'écrire des relations dont tu ne comprend pas le sens vu que clairement tu n'a pas compris ce qu'était la définition d'un cardinal (*) ?
C'est (l'éventuelle) beauté d'écrire du charabia ?
C'est l'impression que ça te donne de faire des trucs "comme les grands" ?
Autre chose ?

(*) Juste pour rire :
Tu peut me dire ce que c'est la définition de ? de ? de ?
Ce qu'est la définition du symbole lorsqu'il est employé entre deux cardinaux ?
Parce que , si c'est pour écrire un truc qui, pour toi, est du même style que "Les whigzuth sont plus klygham que les zargoff", j'ai bien du mal à comprendre l'intérêt de la chose.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 31 Oct 2018, 19:32

Ben314 a écrit:Tu peut m'expliquer ce que ça t'apporte (où ce que tu espère que ça va t'apporter) d'écrire des relations dont tu ne comprend pas le sens vu que clairement tu n'a pas compris ce qu'était la définition d'un cardinal (*) ?
C'est (l'éventuelle) beauté d'écrire du charabia ?
C'est l'impression que ça te donne de faire des trucs "comme les grands" ?
Autre chose ?

(*) Juste pour rire :
Tu peut me dire ce que c'est la définition de ? de ? de ?
Ce qu'est la définition du symbole lorsqu'il est employé entre deux cardinaux ?
Parce que , si c'est pour écrire un truc qui, pour toi, est du même style que "Les whigzuth sont plus klygham que les zargoff", j'ai bien du mal à comprendre l'intérêt de la chose.


Chacun a son niveau respectif en mathématiques. Désolé de ne pas être à ta hauteur, Ben314.
Toutefois, je pense que j'ai le droit d'exprimer les interrogations que je me pose, même si elles sont incohérentes et stupides pour toi.
Quant à la définition des Alephs, je m'en suis fait une représentation grâce à l'article de wikipedia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Aleph_(nombre)
Représentation qui est, certes, inférieure à ton niveau d'intelligence et de culture mathématique.

J'imagine que le symbole < signifie que le nombre d'éléments du cardinal à gauche de < est moins grand que le nombre d'éléments du cardinal à droite de <.

Je veux simplement savoir si on peut utiliser les cardinaux que sont les Alephs comme l'on utilise les nombres entiers dans le cadre des Flèches de Knuth. Comprends-tu cette question, Ben314 ?

P.S. : sache que tu ne vas aucunement me décourager d'exercer ma liberté d'expression au sein de Math.'s Forum.

grantstewart
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 31 Oct 2018, 20:16

Peut-on écrire ou ou , par exemple ?
Je soutiens que, si c'est le cas, on peut alors écrire :

ou, autre exemple :


Et je soutiens donc que les Flèches de Knuth sont compatibles avec les Alephs.

Quelqu'un de compétent, comme hdci, peut-il répondre à l'hypothèse ci-dessus, s'il vous plaît ?

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par Yezu » 31 Oct 2018, 20:26

Salut,

Tu as l'air d'être particulièrement intéressé par l'infini.
Même si ce n'est pas dans le thème de ton topic, je te conseille les excellentes vidéos de Science4All et sa série sur l'infini (25 vidéos d'environ 20 minutes chacune qui traitent d'un paquet de thèmes : la notation de Knuth, ordinaux, Goostein, ZFC, Peano, Cantor, Ramanujan, etc.)
Il a d'ailleurs fait aussi une série de 25 vidéos sur la relativité.
Je trouve qu'il vulgarise extrêmement bien !
Il propose aussi (rarement) des videos Hardcore (tenseurs, supersommations, etc.)
Modifié en dernier par Yezu le 31 Oct 2018, 20:39, modifié 1 fois.

hdci
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 31 Oct 2018, 20:30

Le problème, c'est que tu manipules des objets mathématiques sans connaître tout ce qu'il y a derrière.

L'écriture n'a pas de sens avec la définition usuelle des cardinaux.

Donc tout le reste n'a pas de sens non plus.

Tu peux essayer de créer une théorie en définissant ce que signifie la soustraction de deux cardinaux (\omega étant ici un cardinal), et seulement après tu peux parler de

Quant aux flèches de Knuth : de ce que j'en sais, c'est un nouvel opérateur pour représenter qu'on élève "plusieurs fois de suite à la même puissance". Mais je ne sais pas si l'opérande de droite doit être fini ou non (un autre point éventuellement à explorer : il faudrait alors utiliser les mêms règles de définition par récurrence transfinie que pour l'addition, la multiplication).
Quoi qu'il en soit l'exponentiation des cardinaux est quelque chose de parfaitement défini (de mémoire, Ben corrige moi le cas échéant, , où l'n des deux cardinaux est infini, est égal au plus grand des deux cardinaux).
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 31 Oct 2018, 21:02

Nous ne nous comprenons pas dans la notation (j'ai du mal à insérer des indices avec latex).

Lorsque j'écris , je ne veux pas dire moins ,
mais

Veuillez relire ma question en considérant qu'il s'agit d'indices après les tirets, et non des signes moins.

Autre thème, je te cite, hdci :
hdci a écrit:L'infini n'existe pas dans le monde concret, l'infini est donc un objet mathématique créé "de toute pièce" pour représenter certaines choses : la limite de 1/x quand x tend vers 0, ou bien la borne supérieure de , etc.


Selon toi, hdci, y a-t-il un nombre infini ou fini de grains de sable sur la Planète Terre ??

hdci
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 31 Oct 2018, 21:30

grantstewart a écrit:Selon toi, hdci, y a-t-il un nombre infini ou fini de grains de sable sur la Planète Terre ??


La réponse à cette question est simple et ce n'est pas un problème de croyance : la Terre a une masse donnée, or la masse est réalisée par les particules que sont les protons et les neutrons. Il s'en suit qu'il y a un nombre finis de nucléons. Or les grains de sable sont des amalgames de molécules constituées de nucléons, il s'en suit qu'il y a un nombre fini de grains de sable sur Terre (et ce nombre est d'ailleurs inférieur au nombre de nucléons, ce qui peut se calculer grâce à la masse de la Terre - je te laisse faire le calcul).

Pour en revenir sur les cardinaux : effectivement en rempalçant le signe moins par l'indice, alors c'est plus clair, et comme je l'ai dit, l'exponentiation des cardinaux est parfaitement défini.
En particulier (après quelques recherches dans mes archives), le cardinal et très précisément égal au cardinal de l'ensemble des applications de

Donc est le cardinal de l'ensemble des applications de ce qui en l'occurrence doit faire

Pour la flèche de Knuth : tant qu'on est dans du fini cela ne pose pas de problème. Pour l'aspect généralisé , je ne sais que dire, car je ne connais pas précisément la définition de la flèche de Knuth ; a priori je ne vois pas d'obstacle (pour les ordinaux du moins) à une définition par récurrence transfinie, donc cela devrait avoir un sens. Mais je mets cela au conditionnel, n'étant pas au fait de ce point.

(Juste pour précision : quoi qu'il en soit, cela va nécessiter l'axiome du choix, car l'exponentiation des cardinaux infinis n'est définie que par application de l'axiome du choix : le cardinal d'un ensemble n'existant que parce qu'on a admis l'axiome du choix)
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par Ben314 » 31 Oct 2018, 21:56

Bon, ben vu que clairement tu n'a pas lu la question, je la repose :
ça t'apporte quoi d'écrire un tel charabia dans lequel tu ne comprend pas le sens des symboles ?

Et évidement, ça n'a absolument rien à voir avec une quelconque question de niveau : si tu voulais effectiivement comprendre ce que sont les cardinaux, je ne pourrait que t'en féliciter, sauf que là, c'est pas du tout ça que tu fait, mais uniquement de t'obstiner à écrire des suites de symboles qui sont (pour le moment) totalement dénué du moindre sens pour toi.
grantstewart a écrit:J'imagine que le symbole < signifie que le nombre d'éléments du cardinal à gauche de < est moins grand que le nombre d'éléments du cardinal à droite de <.
Et ça, j'ose espérer que, même si tu n'a pas compris grand chose aux cardinaux, tu est conscient que c'est parfaitement risible comme réponse.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 01 Nov 2018, 11:20

Nous allons tout reprendre depuis le début...

Peut-on écrire ?


ou
?
Peux-tu répondre à cette question, hdci, s'il te plaît ?

Si , c'est que l'écriture n'a aucun intérêt.
Si , c'est que l'écriture a un sens.

Logiquement, si on peut écrire ,
c'est que l'on peut écrire
et donc les Flèches de Knuth (puissances itérées) sont utilisables avec n'importe quel (, , , , ..., ).
Qu'en pensez-vous ? Pouvez-vous confirmer cette hypothèse ?

Par exemple, l'expression suivante aurait un sens, serait un gigantesque cardinal infini :


Cette autre grandeur, par exemple, serait moins gigantesque :


Si vous voulez comprendre la notation, ci-dessus, des puissances itérées de Knuth, consultez cette page wikipedia :
[url]https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_des_puissances_itérées_de_Knuth[/url]

Je vous rappelle que mon objectif est de trouver le moyen le plus efficace afin d'écrire le plus grand cardinal possible.

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 01 Nov 2018, 11:26

hdci a écrit:La réponse à cette question est simple et ce n'est pas un problème de croyance : la Terre a une masse donnée, or la masse est réalisée par les particules que sont les protons et les neutrons. Il s'en suit qu'il y a un nombre finis de nucléons. Or les grains de sable sont des amalgames de molécules constituées de nucléons, il s'en suit qu'il y a un nombre fini de grains de sable sur Terre (et ce nombre est d'ailleurs inférieur au nombre de nucléons, ce qui peut se calculer grâce à la masse de la Terre - je te laisse faire le calcul).


Formidable démonstration de ta part, hdci. Merci ! Je suis entièrement d'accord avec toi.

Et tu as raison à propos du fait que l'infini n'existe pas concrètement puisqu'il y a un nombre fini d'atomes dans l'Univers.
Ainsi, et tu vas me le confirmer, hdci, il y a un nombre fini d'Objets Stellaires (d'étoiles et de planètes) dans l'Univers, n'est-ce pas ?

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 01 Nov 2018, 11:38

Ben314 a écrit:C'est (l'éventuelle) beauté d'écrire du charabia ?

Ce n'est pas du charabia, puisque hdci a compris mes propos. Lis la réponse de hdci au lieu de m'accuser.

Ben314 a écrit:Tu peut me dire ce qu'est la définition du symbole lorsqu'il est employé entre deux cardinaux ?

Puisque tu sais le faire, cela m'aiderait que tu répondes à la question ci-dessus, s'il te plaît, Ben314.

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 01 Nov 2018, 11:49

grantstewart a écrit:Et tu as raison à propos du fait que l'infini n'existe pas concrètement puisqu'il y a un nombre fini d'atomes dans l'Univers.
Ainsi, et tu vas me le confirmer, hdci, il y a un nombre fini d'Objets Stellaires (d'étoiles et de planètes) dans l'Univers, n'est-ce pas ?


Sur ce point, la seule chose que je puisse dire est : l'univers observable est fini ; le reste n'est qu'hypothèse ou croyance
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 01 Nov 2018, 11:51

Cher hdci,
j'attends ta réponse à ma question :
grantstewart a écrit:et donc les Flèches de Knuth (puissances itérées) sont utilisables avec n'importe quel (, , , , ..., ).
Qu'en pensez-vous ? Pouvez-vous confirmer cette hypothèse ?

 

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