Mathématiquement, cela n'a pas de sens. L'infini n'existe pas dans le monde concret, l'infini est donc un objet mathématique créé "de toute pièce" pour représenter certaines choses : la limite de 1/x quand x tend vers 0, ou bien la borne supérieure de
Les opérations arithmétiques sont parfaitement définies sur des nombres réels. Elles sont d'abord (historiquement) intuitivement identifiées (car on voit bien que si j'ajoute deux cailloux à un tas de cailloux qui en contient 23, au total il y en a 25), puis elle de façon très formelle, les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, l'addition se définit par récurrence (n+0=n et n+[suivant de p])=suivant[n+p]), et la multiplication de même (n x 0 = 0 et n x [suivant de p] = n x p + n).
On construit alors les entiers relatifs par des classes d'équivalence sur
On construit de même les rationnels, puis les réels (ce dernier cas étant un peu plus "trapu").
Dans tous les cas on a parfaitement défini les opérations arithmétiques, et la soustraction n'est rien autre que l'addition d'un opposé, comme la division n'est autre que la multiplication par l'inverse.
Quand on ajoute "aleph", c'est-à-dire un cardinal, on est obligé de revenir à la construction des ordinaux :
Le truc c'est que les ordinaux ne sont pas signés : le plus petit des ordinaux, c'est zéro et tous les ordinaux lui sont supérieurs.
On ne peut donc pas définir la soustraction comme l'addition de l'opposé puisque l'opposé d'un ordinal n'existe pas.
Les cardinaux étant des ordinaux particuliers, on y retrouve la même règle.
Maintenant, libre à quiconque de vouloir définir une soustraction dans les ordinaux : mais cela suppose d'en définir précisément les règles (de la même façon qu'on a défini l'addition comme n+0=n, n+(p+1)=(n+p)+1) puis d'en analyser les différentes propriétés. Ce n'est qu'à partir de ce moment que la soustraction a "un sens".
