A propos de la répétition des décimales de Pi

[grantstewart]

Bonjour à tous !

J'ai une idée qui me tracasse à propos des décimales de Pi qui se répètent.

On sait que le chiffre 3 se répète exactement 5 fois de suite quelque part dans les décimales de Pi.
Alors qu'est-ce qui me prouve que le chiffre 3 ne se répète pas exactement 50 trillions de fois de suite quelque part dans les décimales de Pi ?

Quelqu'un peut-il répondre à cette question par une démonstration rigoureuse ???

[FLBP]

Salut,

On sait que est un nombre un nombre univers, mais on ne sait encore le démontrer.

Cordialement.

[nodgim]

Salut,

On sait que est un nombre un nombre univers, mais on ne sait encore le démontrer.

Cordialement.

Pas mal, cette réflexion quand même......

[aviateur]

Bonjour
Donc c'est une conjecture. Donc pas de démo rigoureuse pour l'instant.

[grantstewart]

Merci beaucoup FLBP : ta réponse a éclairé mon esprit !
( j'ai trouvé l'article NOMBRE UNIVERS dans wikipedia ).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_univers

Je cite :
" En 2015, on pense que la plupart des constantes irrationnelles « naturelles », comme π et √2, sont des nombres univers, et même des nombres normaux, au moins en base dix, mais on ne sait le prouver pour aucune. "

[nodgim]

Perso je conteste cette idée d'universalité de PI. Pourquoi est ce que 5 milliards de 1 par exemple devraient sortir consécutivement ?

[Ben314]

Salut,
Ça me déçoit un peu de trouver dans wiki. des phrases du style "on pense que..." sans aucune précision concernant le qui pense que..., ni surtout le pourquoi "on" pense que...

A mon avis, c'est lié au fait que l'ensemble des nombres non normaux est de mesure nulle dans R (donc à fortiori l'ensemble des nombres non univers aussi), mais bon, tout ce que ça dit au sens intuitif, c'est qu'un réel "totalement aléatoire" est "quasi surement" normal (donc univers), sauf que perso., vu les propriétés qu'il a, j'aurais fortement tendance à me méfier concernant le fait que Pi est "totalement aléatoire", non ?

Enfin bref, j'aurais aimé savoir s'il y a un autre argument que celui çi dessus qui, personnellement, ne me convainc pas franchement...

[Ben314]

Perso je conteste cette idée d'universalité de PI. Pourquoi est ce que 5 milliards de 1 par exemple devraient sortir consécutivement ?

Si tu écrit les premières décimales de et que tu les regroupe par paquet de 5 milliards, ben des paquets, tu en as exactement .
Or, des paquets de 5 milliards de chiffres, il n'y en a "que" de différents, soit infiniment moins que le nombre de paquet que tu as sous les yeux donc ça serait franchement pas de bol que le paquet particulier constitué uniquement de 1 ne soit pas dans le lot.

[nodgim]

Entièrement d'accord, Ben, sauf que, comme tu l'as dit, PI n'est pas aléatoire. Indépendamment de ça, ma remarque est provocatrice, de manière à marquer, car ça fait tout de même bizarre que, issu d'un vrai calcul, on se trouve à avoir un chiffre répété un nombre incalculable de fois....
Si certains d'entre vous connaissent Daniel Tammet, un pur génie autiste, il a disserté pendant presque 1 page dans un de ses livres sur l'universalité des décimales de PI. Il aurait dû se renseigner un peu mieux avant de le faire. Tout cela pour dire qu'il faut être prudent tant que rien n'est prouvé.

[grantstewart]

Selon http://www.dcode.fr/decimales-pi ,

00000 apparait 6 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
11111 apparait 15 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
22222 apparait 8 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
33333 apparait 8 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
44444 apparait 2 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
55555 apparait 13 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
66666 apparait 14 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
77777 apparait 9 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
88888 apparait 7 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi
99999 apparait 8 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi

123123 apparait 1 fois dans les 1 000 000 premières décimales de Pi

D'après ces résultats, quelqu'un sait-il démontrer que Pi est un Nombre Univers ?

Sinon démontrer que Pi = Nombre Univers constitue une conjecture ?

[Ben314]

D'après ces résultats, quelqu'un sait-il démontrer que Pi est un Nombre Univers ?

Tu peut bien faire ce type de constatation jusqu'à aussi grand que tu veut (avec des millions de millions de milliard de décimales), ça ne constituera toujours pas ne serait-ce que le début d'un petit morceau de preuve : être un nombre univers (ou ne pas l'être), ça parle de l'ensemble infini de toute les décimales. Et bien sûr, ton million de million de milliard de décimales, par rapport à l'infinité du total des décimales, ben il ne représente... rien (même pas 0,000000000000000001 % des décimales....)

[grantstewart]

Plus le nombre de premières décimales de Pi est grand, plus de chiffres consécutifs apparaissent. Donc, logiquement, toute possibilité de portion finie de chiffres arrive fatalement. Tout entier apparaît forcément quelque part dans les décimales de Pi.

[grantstewart]

Certes, contrairement à tout entier, il est impossible qu'une suite infinie d'entiers soit contenue dans les décimales de Pi.

[grantstewart]

A-t-on du nouveau sur les nombres univers ? Sait-on prouver, aujourd'hui, que pi est un nombre univers ?

[pascal16]

pour l'instant on sait que n'import quelle séquence de 6 chiffres se trouve au moins une fois dans la longue suite des décimales de pi calculées par Alexander J. Yee et Shigeru (Japon), suite de 10 000 milliards de chiffres

[grantstewart]

Donc il est évident que est un nombre univers,
puisque, plus il y a de décimales, plus les probabilités d'apparition de séquences augmentent...
Mais comment le prouver rigoureusement ?

[hdci]

Donc il est évident que est un nombre univers,

Ben non, cela n'a rien d'évident : on ne peut pas dire en regardant "un milliard de cas particulier" que cela se généralise sur l'infini.

Prenez par exemple la fonction . Calculez .
Et en fait calculez toutes les images entières jusqu'à un milliard. On trouve d'ailleurs (20 milliards et quelques).
Vous en concluez qu'il est évident que la fonction est croissante et admet comme limite en

Pas de chance, sa limite en en est

• il aurait fallu calculer jsuqu'à environ 130 milliards pour voir que la croissance s'arrête et s'inverse
• et dépasser 250 milliards pour "se convaincre" que la fonction plonge (elle reste toutefois très positive à cette valeur : l'image est 74 milliards environ)
• Mais alors qui nous dit qu'elle ne remontera pas plus tard ?

puisque, plus il y a de décimales, plus les probabilités d'apparition de séquences augmentent...

Justement on n'en sait rien, ce n'est qu'une conjecture

Mais comment le prouver rigoureusement ?

Peut-être que celui qui répondra à cette question aura la médaille Fields ?

[grantstewart]

Je pense ( je ne suis pas certain ) que la comparaison que tu effectues entre et n'est pas valable, n'est pas judicieuse. En effet, ces deux entités ne sont pas comparables car est aléatoire et ne l'est pas...

Ou bien, veux-tu dire que les décimales de sont aléatoires ??

Selon wikipedia,
" En 2015, on pense que la plupart des constantes irrationnelles « naturelles », comme π et √2, sont des nombres univers, et même des nombres normaux, au moins en base dix, mais on ne sait le prouver pour aucune. "

[hdci]

Je pense ( je ne suis pas certain ) que la comparaison que tu effectues entre et n'est pas valable, n'est pas judicieuse. En effet, ces deux entités ne sont pas comparables car est aléatoire et ne l'est pas...

Mon propos n'était pas de comparer le logarithme à pi ni de parler de séquence aléatoire, mais de dire que ce n'est pas parce que l'on constate une certaine propriété sur un ensemble d'un milliard (voire beaucoup plus) d'individus que cette propriété est vraie. Tout au plus peut-on la conjecturer , mais certaines conjectures sont fausses (cf. la quadrature du cercle, conjecture qui a été démontrée fausse très très tardivement)

En effet, ces deux entités ne sont pas comparables car est aléatoire et ne l'est pas...

Ou bien, veux-tu dire que les décimales de sont aléatoires ??

Sans indiquer quelle est la loi de probabilité, "les décimales sont aléatoires" ne veut rien dire. Sinon, cela ferait longtemps qu'on aurait démontré le résultat en utilisant les notions de "presque sûrement" (qui n'est pas du tout une approximation, le "presque sûrement" signifie en gros que les cas qui n'apparaissent font partie d'un ensemble de mesure nulle, donc sont de probabilité nulle).

Selon wikipedia,
" En 2015, on pense que la plupart des constantes irrationnelles « naturelles », comme π et √2, sont des nombres univers, et même des nombres normaux, au moins en base dix, mais on ne sait le prouver pour aucune. "

Selon Wikipedia : c'est donc une opinion.
on pense : un de mes collaborateurs dans une vie antérieur se hérissait dès qu'un membre de l'équipe disait "on" : sa remarque était invariablement "on est un c..." : qui pense cela ? Si c'est une opinion, y a-t-il des contradicteurs ?
Ceci dit, il est possible que globalement la communauté des mathématicien fasse cette conjecture. Mais justement si ce n'est pas encore démontré, je doute qu'on en fasse la preuve sur ce forum...

[pascal16]

"aléatoire" dans des décimales ne veut pas dire "aléatoire" mais "sans schéma prévisible".