Existence d’entiers premiers avec un primoriel dans un inter

[Baptiste789]

Bonjour,
J'ai une problème que je n'arrive pas à résoudre.

Soit ( P_k ) le kᵉ nombre premier (par exemple ( P_1 = 2 ), ( P_2 = 3 ), etc.), et soit ( P_{k-1}# ) le primoriel de ( P_{k-1} ), c’est-à-dire le produit des nombres premiers ≤ ( P_{k-1} ).

On sait qu’il existe au moins un entier premier avec ( P_{k-1}# ) dans tout intervalle de ( P_k ) nombres consécutifs.

Ma question est la suivante :

Peut-on démontrer (ou trouver un contre-exemple) que dans tout intervalle de ( 2P_k ) nombres consécutifs, il existe au moins trois entiers premiers avec ( P_{k-1}# ) ?

Merci d’avance pour toute démonstration ou contre-exemple.