L'unité a t elle une existence propre ?

[nuage]

Salut,
selon moi, en comptant comme ça, tu ne peux pas trouver 0,22.
Ce qui montre le caractère discret de la chose.
Les entiers sont une façon (la seule "naturelle") d'indexer ce genre de choses. :mur:

[alben]

Bonjour,

En écrivant "un" 0,03 tu utilises une base égale à racine de 3
Pourquoi pas ?
Sauf que les seuls chiffres utilisables pour écrire dans cette base sont 0 et 1
un->1 mais aussi 0,110010100011
deux->10,0010100011...mais aussi 1,110010100011
trois->100 ou 11,110010100011 ou 10,1111010011111
Eh oui, l'écriture n'est plus unique
Amusant mais pas trop pratique pour faire des calculs

[Flodelarab]

En écrivant "un" 0,03 tu utilises une base égale à racine de 3

Euh... vu la linéarité de ma base (la linéarité est-elle une nécessité d'ailleurs?), j'aurais plutôt dit que l'unité de ma base représente 100/3 plutot qu'une racine de 3.

Sauf que les seuls chiffres utilisables pour écrire dans cette base sont 0 et 1

Parce que tu t'appuies sur une base entière. Alors que j'essaie d'instiller (rien que ça!) l'idée de base réelle. Sinon je suis d'accord que dans TOUTES les bases entières, les entiers sont ceux qui n'ont pas de décimales.

Et je pose la question, dans une base réelle, comment reconnaitre un entier ?

selon moi, en comptant comme ça, tu ne peux pas trouver 0,22.

De la même façon qu'en dénombrant en base entière, tu ne trouves pas 7,333333... personnes. Rien d'incohérent jusqu'ici.

[cesar]

Quel propriété mathématique ce nombre a t il tel que je puisse l'identifier comme un entier ? Ou de façon moins abstraite, quel outil permet de le détecter comme tel?
.

peut être la solution se trouve dans la definition des entiers naturels...à relire de pres (les axiomes de Peano...) :

1 l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.
2 Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
3 Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4 Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
5 Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N

[Flodelarab]

Merci de ce rappel César.

Si je prends l'ensemble des multiples positifs de Pi muni de l'addition.
Je définis ces nombres comme "nombres entiers" (preuve par l'absurde)

1) L'élément neutre appelé 0 est un entier (oui c'est Pi fois zéro)
2) Tout nombre de cet ensemble a un successeur. (oui kPi a (k+1)Pi comme successeur)
3) Aucun n'a 0 comme successeur (oui, par construction)
4) 2 entiers avec le meme successeur sont égaux. (oui encore. Evident)
5) Mon ensemble contient le 0 et tous les successeurs. Et pourtant ce n'est pas l'ensemble N


Je n'ai pas trouvé de contradiction. Il me manque toujours l'élément qui permet la distinction Entier/Pas entier.

[alben]

Je n'ai toujours pas compris où tu voulais en venir Flodelarab :
Une base, en numération, c'est la valeur dont chaque chiffre d'un nombre représente une puissance (déterminée par la position du chiffre dans le nombre).
C'est une écriture polynomiale.
Dans un espace vectoriel réel de dimension 1, la base représente le vecteur unité. Dans l'espace des surfaces, si tu remplaces l'unité m² par ha ou acre, un même objet physique sera décrit par des scalaires différents, entiers dans certains cas et pas dans d'autres
Et alors ?

[cesar]

Merci de ce rappel César.

Si je prends l'ensemble des multiples positifs de Pi muni de l'addition.
Je définis ces nombres comme "nombres entiers" (preuve par l'absurde)

1) L'élément neutre appelé 0 est un entier (oui c'est Pi fois zéro)
2) Tout nombre de cet ensemble a un successeur. (oui kPi a (k+1)Pi comme successeur)
3) Aucun n'a 0 comme successeur (oui, par construction)
4) 2 entiers avec le meme successeur sont égaux. (oui encore. Evident)
5) Mon ensemble contient le 0 et tous les successeurs. Et pourtant ce n'est pas l'ensemble N


Je n'ai pas trouvé de contradiction. Il me manque toujours l'élément qui permet la distinction Entier/Pas entier.

tu es toujours dans une structure de Dedekind-Peano : elle sont toutes isomorphes à N - donc tout ce que vous déduisez de ces structures pourrait être déduit de N. Il faut passer en arithmétique "non standard". Ces modéles existent, on le sait ....encore faut il en trouver un
je me demande si on n'est pas en train de se heurter :mur: au theoreme de godel sur l'incomplétude : l'arthimétique ne peut pas se justifier par ses propres axiomes...

[cesar]

Quel propriété mathématique ce nombre a t il tel que je puisse l'identifier comme un entier ? Ou de façon moins abstraite, quel outil permet de le détecter comme tel?

.

voici une proposition : n est entier si n = p+p+p+p...p n est une somme finie d'un nombre P et avec p tel que quelque soit Y, on a PxY = YxP=Y
(évidement :p=1 dans le cas des entiers naturels...)
... je cherche la faille, mais j'en trouve pas, mais il faut faire appel à la multiplication... il y en a peut être une

[nuage]

Salut,

Merci de ce rappel César.

Si je prends l'ensemble des multiples positifs de Pi muni de l'addition.
Je définis ces nombres comme "nombres entiers" (preuve par l'absurde)

1) L'élément neutre appelé 0 est un entier (oui c'est Pi fois zéro)
2) Tout nombre de cet ensemble a un successeur. (oui kPi a (k+1)Pi comme successeur)
3) Aucun n'a 0 comme successeur (oui, par construction)
4) 2 entiers avec le meme successeur sont égaux. (oui encore. Evident)
5) Mon ensemble contient le 0 et tous les successeurs. Et pourtant ce n'est pas l'ensemble N


Je n'ai pas trouvé de contradiction. Il me manque toujours l'élément qui permet la distinction Entier/Pas entier.

Je me permet juste une question : comment tu défini ?
Et comment construis tu les nombres non entiers ?
Une citation dont j'ai oublié l'auteur, mais qui je crois, concerne ton problème :
>

Il me semble que la distinction réside dans la différence entre discret et continu et non dans l'écriture. Mais là je me répète. :marteau:

[Dominique Lefebvre]

Salut,



Une citation dont j'ai oublié l'auteur, mais qui je crois, concerne ton problème :
>

La citation complète : " Dieu créa les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'Homme ." c'est de Léopold Kronecker !

[memphisto]

Posté par Flodelarab
Quel propriété mathématique ce nombre a t il tel que je puisse l'identifier comme un entier ? Ou de façon moins abstraite, quel outil permet de le détecter comme tel?

Dans la théorie des ensembles ZF, on peut trouver une construction de N basée sur les ensembles, avec les notions de segment initial, d'ordinal, de cardinal, etc.
Dans ce contexte, on a déja les entiers alors que l'on ne parle pas encore de nombre.
Ensuite, considérer les multiples positifs de pi ne change rien à l'isomoprhisme d'ensembles bien ordonnés qu'il forme avec N

[memphisto]

Dans le post précédent, je parlais du point de vue ensembliste.
Mais selon le point de vue algébrique, une unité a clairement une existence propre:
c'est toujours un membre du groupe multiplicatif d'un anneau, i.e. un élément du semi-groupe multiplicatif qui est inversible pour la multiplication.

[memphisto]

On pourrait également raisonner selon le point de vue physique, où l'on voit les unités des grandeurs physiques répondre à l'équation aux dimensions, qui a la meme structure algébrique qui l'équation dont elle provient.

Mais également selon le point de vue philosophique, on pourrait évoquer le concept de logos grec, qui a le sens de rapport, de proportion.
Logos dérive de legô, qui signifie prolifique. Donc le logos possède un peu ce but, i.e. la recherche de ce qui est profitable (ne parlons-nous pas de rapports harmonieux en art ? notion à laquelle est basée le nombre d'or d'ailleurs).
Enfin notons que de logos dérive logarithmus, dont le sens étymologique signifie nombres en rapport.
Ceci fait que meme philosophiquement, l'unité à une existence propre dans la notion de logos.

[Lierre Aeripz]

Bon, j'avoue que je n'ai pas tout lu.

Premièrement, j'ai vu quelques mauvaises idées sur la partie entière. La fonction partie entière n'est pas continue et ne le sera jamais. Ce n'est pas parce que on trouve une formulation plus analytique de la partie entière qu'elle en deviendra continue. Bref, il n'est pas plus joli (que je prend ici au sens de plus intrinsèque) de dire que que de dire que . Même tout le contraire. L'une des formulations donne l'essence de E alors que l'autre ne donne rien, mais vraiment rien du tout (je n'ai même pas vérifié sa véracité !).
Dans d'autres cas, une expression analytique est agréable. C'est le cas de la fonction max (sur , of course). . Cette formulation rensigne beaucoup sur max. Notamment (et c'est beaucoup plus pénible de le montrer sans cette expression), si f, et g sont continues, max(f,g) l'est aussi.


Sur le problème de l'unité.

Une conception intuitive de l'ensemble des réels par du plan (ou de l'espace, ou d'une droite, cela revient au même). Bref d'une vision du monde. Dans cette conception, un réel positif est une distance. J'ai un point A ici, un point B là-bas, une certaine distance les séparent. La distance de A à B est égal à celle entre C et D si en faisant glisser C et D (en ayant bien pris soin de les solidariser) je peux les faire coincider avec A et B. Pour l'addition des distance AB et DC, il suffit d'aligner les points puis de faire coincider B et C, ou B et D. Evidement, on dispose de notions intuitives du parallélisme. De même, on a utilisé la notion (intuitive) d'isométrie. En regardant les couples de points comme des "bipoints" ou comme des translations, on parvient à créer la notion de vecteur. Pour créer l'ensemble des réels au complet, il suffit de prendre les vecteur faits avec les points d'une droite. On remarque ici que l'ensemble des réels positifs n'est pas de la même nature que ce que je viens d'appeler l'ensemble des réel au complet. Mais ce n'est pas grave, le premier se "plonge" facilement (et canoniquement) dans le second.

Toujours pas de "un" dans tout cela. Aucun élément de quoique ce soit n'apparait. Le "zéro" lui est apparu déjà deux fois. La première fois, il était la distance nulle : si la distance entre A et B vaut zéro, alors A et B sont égaux. La deuxième fois c'est avec les vecteur. Le vecteur nul représente la translation nulle, celle qui ne bouge personne. La première fois, le zéro apparait comme une caractérisation de l'égalité, le seconde comme un élément neutre, à savoir l'élement neutre du groupe des translations. L'espace (euclidien du moins ) n'est qu'un continuum isotrope invariant par isométrie, et même par les dilatations. En revanche, l'espace des vecteur à bien un centre : le zéro. Ce n'est pas un élément quelconque, il est reconnaissable entre tous.

Le "un" apparaitrait si l'on arrivait à multiplier les réels. Nous dirions alors que le "un" est l'élément neutre. Mais cela n'est pas possible. L'idée est que on veut obtenir un autre réels en multipliant deux réels. Or si on multiplie par deux toutes les distance (on peut le faire : l'espace est invariant par les dilations), le produit sera multiplié par quatre, ce qui contredit l'invariance par dilatation.
Cette constatation amène à construire un nouvelle ensemble où l'on pourra multiplier. Définissons un réel comme l'ensemble des quadruplets de points (A, B, C, D) tels que les distances AB et CD sont dans le même rapport. Le théorème de Thalès permet de definir facilement si des distances sont dans le même rapport. (NB: le th de Thalès n'est donc ici pas un théorème mais une définition.) Des constructions basées sur le théorème de Thalès permet de multiplier les rapport de longueur. L'addition devient plus subtile, il faut commencer par "mettre au même dénominateur". (Toute cette construction peut être reprise en guise d'exercice, pour les TermS, par ex.)
Nous voici donc avec un troisième ensemble des réels (reéls positif distances, réels comme vecteurs et réels comme rapports de longueurs). Et le "un" apparaît : le un est représenté par l'ensemble des (A,B,C,D) tels que AB = CD. Tout comme le zéro, le "un" apparaît comme un indicateur d'égalité et un élément neutre.
L'idée était forcément la bonne : un longueur est une longueur, mais un rapport de longueur n'a pas de dimension. (On pourrait dire pas d'unité, c'est justement, quand on n'a pas de dimension, on possède un "un".) Donc on peut dilater l'expace comme on le veut, les rapports ne changent pas.

Tout ça pour dire que le "un" est un problème de structure.
Quand on considère les réels comme une espace topologique, il n'y a ni "un" ni "zéro". Quand on les considère comme des vecteurs, le "zéro" et l'addition apparaissent (le zéro apparait avant l'addition : avant de savoir composer les translations, on a déjà remarquer la translation nulle). Et enfin, quand on les considères comme des rapport de distance, on a une strucure d'anneau : le "un" apparait puis la multiplication.

J'espère que cette présentation t'a fait mieux comprendre ce que sont les réels et l'unité. J'espère que tu à compris comment on additionne et on multiplie les réels. (Les lycéens savent souvent balbutier une définition de l'addition avec la géométrie, mais rarement une pour la multiplication, alors que ça peut paraitre un comble de en pas savoir comment est défini a fois b...)

La présentation moderne part d'autres axiomes que ceux de la géométrie euclidienne : on part des nombres entiers, on contruit les relatifs, puis les rationnels, puis les réels, directement avec leur structure d'anneau. Dans ce cas, le un vient directement des entiers. Il a été plongé successivement dans les différents ensembles, de même que le zéro. Et à partir des réels, on construit la géométrie euclidienne. (Mais j'inclinerais à penser que la géométrie ainsi construite n'est pas aussi lisse : il n'est pas facile de construire un plan sans point particulier...)