Somme des puissances impaires des n premiers entiers

[Birouma]

Bonjour,

p étant un entier impair quelconque, comment peut-on démontrer par récurrence le résultat suivant :

" La somme des puissances p-ièmes des n premiers entiers est divisible par n(n+1)/2 " ?

Merci de votre aide.

[lapras]

Notons S_n,p la somme des puissances p-ièmes des n premiers entiers.
Il s'agit de voir que 2*S_n,p est divisible par n(n+1), c'est à dire divisible par n et par (n+1). Regardons la somme modulo n : regroupe les termes (n-i)^p et i^p. De même regroupe les termes (n+1-i)^p et i^p. On utilise le fait que p est impair pour dire que (n-i)^p = -i^p modulo n (et de même pour n+1).

[Birouma]

Merci beaucoup pour cette démonstration élégante.
Connaîtriez-vous une démonstration par récurrence ?

[lapras]

Sans avoir trop réfléchi, je ne vois pas directement.

[WillyCagnes]

bsr,
voir ce lien interessant à lire
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/SomPuiss.htm

[Birouma]

Merci beaucoup.
La démonstration par récurrence n'est pas la plus adaptée mais il semble qu'elle soit possible...
J'aimerais bien la connaître.