Question s/zeta (dans la jungle des nbres premiers, J.D.)

[jeanmarc69]

Bonjour,

je suis en train de lire 'Dans la jungle des nombres premiers' de John Derbyshire (version française).

j'ai un problème aux pages 79 et 138 et ss.

En effet, la fonction zêta est montrée de manière classique ,

en page 79 l'auteur montre que Z(0) diverge (somme infinie des 1) ainsi que Z(1/2). Jusque-là, je comprends.

en page 138, l'auteur écrit que Z(0) = 1/2...

j'ai donc raté qqchose en 59 pages...

Merci pour votre aide, JM

[Purrace]

Rien compris à ton probleme!

[jeanmarc69]

le problème c'est que je ne comprends pas comment on peut obtenir 1/2 avec la fonction zetâ comme présenté dans la source mentionnée

[Joker62]

Bé si c'est réellement écrit cela, c'est une erreur
Certainement pendant la traduction...

[ffpower]

Non,c est pas une erreur.La série diverge en effet s si Re(s)=<1,et converge si Re(s)>1.La ou elle converge,elle définit une fonction holomorphe,qui elle a un prolongement holomorphe(unique) qur C-{1} et qu on appelle encore Zeta et qui prend les valeurs que tu cites en 0 et 1/2.C est ca que t as du louper dans les 59 pages..

[JJa]

Bonjour jeanmarc69,

il y aurait contradiction si on définissait la fonction zêta(s) par la somme infinie indiquée, ceci quelque soit s.
Une définition plus générale de la fonction zêta est obtenue par prolongement analytique, ainsi que ffpower l'a justement indiqué. Avec cette extension, zêta(s) est bien définie pour s<1, donc pour s=1/2 en particulier. Bien entendu, la série infinie est alors inadéquate : ce n'est pas la définition de zêta(s)appropriée dans ce domaine. Il n'y a donc pas contradiction.

[jeanmarc69]

OK merci pour vos réponses.
je vais donc relire les 59 pages...