Le sinus en analyse complexe.

[barbu23]

Bonjour à tous,

Je suis une quiche en analyse complexe, néanmoins, j'aimerais comprendre clairement la chose suivante :
Si on prend la fonction sinus sur le plan complexe à valeurs complexes : , on me dit souvent que cette fonction, comme le cosinus aussi ( je ne sais pas si c'est aussi pour le tangent ) n'admet pas un inverse globale à droite, mais des inverses locaux à droite. Autrement dit, Il n'existe aucun sur tout le corps complexe tel que : , mais simplement une suite de fonctions sur des domaines : tel que : . Pourriez vous m'expliquer clairement quels sont ces et ces ? Pouvez vous me proposer une simple démonstration qui illustre ce fait ? Et pourquoi les ne se recollent pas sur les pour donner un présumé ?

Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider. :happy3:

[Pythales]

Bonjour à tous,

Je suis une quiche en analyse complexe, néanmoins, j'aimerais comprendre clairement la chose suivante :
Si on prend la fonction sinus sur le plan complexe à valeurs complexes : , on me dit souvent que cette fonction, comme le cosinus aussi ( je ne sais pas si c'est aussi pour le tangent ) n'admet pas un inverse globale à droite, mais des inverses locaux à droite. Autrement dit, Il n'existe aucun sur tout le corps complexe tel que : , mais simplement une suite de fonctions sur des domaines : tel que : . Pourriez vous m'expliquer clairement quels sont ces et ces ? Pouvez vous me proposer une simple démonstration qui illustre ce fait ? Et pourquoi les ne se recollent pas sur les pour donner un présumé ?

Merci d'avance. :happy3:

Soit
On en tire facilement
Comme le log est défini à près, les fonctions corrrespondent à ces déterminations.

[barbu23]

Soit
On en tire facilement
Comme le log est défini à près, les fonctions correspondent à ces déterminations.

Merci beaucoup de m'avoir donné un peu de ton temps pour me répondre, néanmoins, j'aimerai avoir quelques éclaircissements sur la chose suivante :
Tu affirmes que les sont : . Quelle est dans ce cas là pour chaque ? et pourquoi ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un petit up pour voir si quelqu'un peut m'aider. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[emdro]

Bonsoir,

la fonction est surjective. Par conséquent elle est bel et bien inversible à droite, i.e. il existe une fonction telle que .

En revanche, il n'existe pas de fonction continue telle que ...

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

... La fonction est surjective. Par conséquent elle est bel et bien inversible à droite, i.e. il existe une fonction telle que .

Merci beaucoup pour cette réponse. :happy3:
Peux tu me préciser comment on construit l'inverse à droite globale de qui semble être non continue sur ?

Merci d'avance. :happy3:

[emdro]

Soit .
Il existe un tel que . On pose .

Ayant fait cette démarche pour tous les complexes , on a ainsi défini une fonction .

Et pour tout , on a . D'où .

Tu peux généraliser cette démonstration pour obtenir le fait que si une fonction est surjective, elle est inversible à droite.

[Ben314]

C'est ce que pythales vient de te dire :
Tu veut résoudre (z=paramètre, u=inconnue).
C'est une équation du second degré en :
Qui admet deux solutions (sauf si où il n'y en a qu'une) : où
Comme () on peut le(s) écrire(s) où est unique (pour un donné) mais pas .
Donc UNE solution est

Aprés, le fait qu'il n'y ait pas de réciproque continue vient du fait archi connu qu'il n'existe pas de fonction "argument" continue sur

[barbu23]

Merci @emdro, néanmoins, cette réponse semble être un peu flou pour celui qui n'a pas de bases solides en analyse complexe comme moi. La méthode que tu me proposes se trouve dans des bouquins un peu plus poussé qui porte sur les surfaces de Riemann par exemple ... etc.
Moi, je cherche une méthode dédié aux néophytes qui ont un niveau inférieur ou égale à L3, et qui ne comprennent pas ce qu'est un inverse locale par opposition à inverse globales. En d'autres termes, je cherche une suite de fonctions "concrètes" ,si on peut l'appeler ainsi, avec et à déterminer concrètement, c'est à dire à l'aide de formules "visibles". :happy3:

Merci d'avance. :happy3:

Edit : Ah ! je vois là un autre nouveau message de @Ben. Attendez, je vais le méditer. Merci @Ben261. :happy3:

[barbu23]

Merci à vous deux. :happy3:
Et comment déterminer les ?
Merci d'avance. :happy3:

[emdro]

Merci à vous deux. :happy3:
Et comment déterminer les ?
Merci d'avance. :happy3:

Je crains que ta question n'ait pas de réponse.

Je t'invite à y réfléchir dans le cas plus classsique de l'exponentielle complexe. On peut localement lui trouver une réciproque en posant par exemple . Cela fonctionne très bien si tu es par exemple dans le disque de centre 2 et de rayon 1, et que tu choisis l'argument principal de z.

De même, si tu es dans le disque de centre -2 et de rayon 1, tu peux encore utiliser cette formule, en choisissant cette fois un argument de z pris entre 0 et .

Mais il y a un problème si tu décides de suivre le cercle de centre 0 et de rayon 1 : tu vas nécessairement subir une discontinuité pour revenir à ton point de départ.

Pour lutter contre cela, on peut ôter de l'ensemble de définition de les réels négatifs, ou les imaginaires purs, ou tout autre demi-droite admettant O pour origine.

Mais tu vois qu'on ne peut pas te spécifier les domaines de manière fixe. Ce qu'on fait en général est d'ôter les réels négatifs, mais rien ne t'empêche pour autant de trouver une réciproque à droite au voisinage d'un réel négatif, comme je te l'ai suggéré dans mon deuxième exemple.

C'est la même chose pour la fonction sinus. Il faudra mettre des barrières de place en place afin de ne pas pouvoir faire de trop grands tours et revenir au point de départ avec une discontinuité forcée. Mais on ne peut rien t'interdire a priori, car localement, tu trouveras toujours un voisinage sur lequel tu pourras définir un continu.

Je te laisse chercher comment se comporte la fonction sinus complexe. L'idéal serait que tu trouves toi-même un chemin trop grand qui te ramène à ton point de départ avec une discontinuité. Tu sentiras alors la nécessité d'imposer une limite du domaine de ta réciproque.

[barbu23]

... Je te laisse chercher comment se comporte la fonction sinus complexe. L'idéal serait que tu trouves toi-même un chemin trop grand qui te ramène à ton point de départ avec une discontinuité. Tu sentiras alors la nécessité d'imposer une limite du domaine de ta réciproque.

Peux tu par exemple m'expliquer comment se comporte la fonction exponentielle complexe ?.
Au passage, j'ai sous-inclu une petite phrase au début de ce fil : "je suis une vrai quiche en "analyse complexe". :hum: :zen:
J'ai besoin de votre aide pour avancer. :mur:
Merci pour votre compréhension. :happy3:

[emdro]

Et moi, j'ai bien dit :

Je te laisse chercher ....

On apprend bien davantage en cherchant qu'en trouvant les réponses toutes faites.

Bon travail !

[barbu23]

D'accord.
Le but est alors de trouver avec : telle que : .
Soit un domaine de tel que : tel que : , ( à la fin, on posera : après avoir trouver en fonction du point )
On a : avec : et .
Donc,
Inversement : . non ?
On pose :
On obtient ainsi :
Voilà, je réussis facilement à trouver sur le singleton , mais pas sur .

[B]Edit[/B] : Pour que : soit bien définie, il faut et il suffit que l'image de tout : par soit unique, or, ici : peut avoir plusieurs images distinctes : .

Edit : Donc, pour que soit bien définie, il faut et il suffit que : appartient à un intervalle de longueur : . C'est à dire que appartient à un intervalle de longueur , c'est à dire de la forme : . Donc, finalement : .

Edit : Il n'y'a pas de conditions sur pour que l'image par de tout soit unique. Donc, finalement : .

[barbu23]

Donc, c'est quoi ? Ce n'est pas : , non ?
Aidez moi svp.

Edit : Si : s'écrit : et et , alors, cela ne signifie pas que : . Comment remédier à ce problème ?

Edit : Si : s'écrit : et et , alors, à ce moment là, on peut dire que : , mais, malheureusement ce n'est pas le cas ici. Comment remédier à ce problème finalement ?. :mur: