Un carré "rond"

Voilà un petit problème que j'aprécie ... plusieurs façons de le résoudre, des supers bourrines, des bourrines, des élégantes ... à vos cervaux, pres? Go! :

Le coté du carré ci dessous vaut 1. Que vaut l'aire en noire?

salut,
avec un systeme d'équation on y arrive immédiatement (3 équations
3 inconnues)
je passe les calculs
A = (1+pi/3 - sqrt(3))*a²
a = aire du carré
donc ici a = 1 => A = 1 + pi/3 - sqrt(3)

euh ... tu la connaissais avant? Honnement,j'avais pas trouvé avec cette méthode de systèmes d'équations ... tu peux détailler?

Soit :
x l'aire du carré curviligne EHGF
y celle du triangle curviligne BEF, HDG, GFC, AEH
z celle des triangles curviligne GCD, HDA, AEB, BFC
l'aire du disque ABD : pi/4 * a²
donc
x + 3y + 2z = pi/4 * a²
aussi l'aire de ABCD est a²
donc
x + 4y + 4z = a²
enfin
aire du secteur circulaire CDE est (pi/6)*a²
et l'aire du triangle curviligne CDE est
x + 2y + z = 2*((pi/6)*a² - (sqrt(3)/4)a²) + (sqrt(3))/4 * a²
donc on résoud le systeme
et
x = (1 + pi/3 - sqrt(3))a²

Je suppose que ses inconnues sont les aires des differentes parites composant le carré.Disons que a est l aire recherchée,b l aire des sortes de triangle equilateraux et c l aire des sortes de triangles aplatis qui restent.a+4b+4c représente l aire du carré,a+3b+2c represente l aire d un quart de disque,et a+2b représente l aire du "ballon de rugby"(intersection de 2 disques).
Bien trouvé en tout cas^^

Edit:oups j ai posté en meme tps que lapras dsl^^

baleze ... je suis soufflé ... j'ai mis plusieurs heures en bac +1 pour trouver le résultat (de maniere beaucoup moins élégante, avec une grosse intégrale)... Tu t'ennuies pas trop en cours?

je l'ai aussi fait par intégrales mais je ne le poste pas c'est tellement lourd...
PS : j'avais déja fait ton probleme auparavant c'est une olympiade académique et je l'ai fait en a peu pres 1 heure( le temps de résoudre le systeme !).

trouvé aussi en moins d'une heure mais avec cette formule (même résultat):
S=2-rac3+pi/3-4sin(pi/12)cos(pi/12) :happy2:

salut
peux tu me donner ta méthode puisque tu as apperement utilisé la trigonométrie ?

lapras a écrit:salut
peux tu me donner ta méthode puisque tu as apperement utilisé la trigonométrie ?

Je trace les diagonales du carré rond et je calcule le 1/4 de la surface qui est un pseudo triangle rectangle isocèle. Pas de soucis pour trouver la longueur du coté de ce triangle; Pas de soucis non plus pour trouver l'aire supplémentaire de l'arrondi :++:

nodgim a écrit: Pas de soucis non plus pour trouver l'aire supplémentaire de l'arrondi

C'est un peu le but de l'exo quand meme, si ta démo c'est "pas de soucis" ca fait un peu léger. D'ailleur avec une telle explication on se demande pourquoi tu prend la peine de diviser le pseudo carré en 4.C'est pas plus simple de calculer l'aire du carré et apres "pas de soucis" pour les arrondis en plus ?

Pour une démonstration très visuelle je vous laisse un petit dessin pour méditer :zen:



Imod

Imod a écrit:Pour une démonstration très visuelle je vous laisse un petit dessin pour méditer :zen:



Imod

waw joli !

D'un autre côté , il m'a fallu une demi-heure pour faire le dessin ( sur logiciel ) et une autre pour trouver le carré et je n'ai pas fait les calculs :hum:
Et si on met un chrono devant moi , je n'existe plus : je laisse cette épreuve aux jeunes :++:

Imod

Imod a écrit:D'un autre côté , il m'a fallu une demi-heure pour faire le dessin ( sur logiciel ) et une autre pour trouver le carré et je n'ai pas fait les calculs :hum:

Le pire c'est qu'une fois ta figure sous les yeux ca deviens évident apres !

C sur que la ya pas plus concis comme demo,joli..(mais j aime bien aussi la methode de lapras..)

Patastronch a écrit:C'est un peu le but de l'exo quand meme, si ta démo c'est "pas de soucis" ca fait un peu léger. D'ailleur avec une telle explication on se demande pourquoi tu prend la peine de diviser le pseudo carré en 4.C'est pas plus simple de calculer l'aire du carré et apres "pas de soucis" pour les arrondis en plus ?

Il me semble que cet exercice est assez évident. Je n'explique pas, je donne le fil que j'ai suivi. En prenant de l'âge, on devient paresseux (c'est mon cas, tout au moins), je ne suis plus à l'école, n'est ce pas ? Et je crois avoir affaire ici à des gens avertis qui savent lire entre les lignes ,non?

Bonne nuit à vous, je vais poursuivre la lecture du passionnant livre de Marcus du Sautoy "La symphonie des nombres premiers", rien que le titre, c'est tout un programme! :id:

Bien joué Imod, j'aime beaucoup tes démonstrations souvent très géométriques.
Nodgim > ce probleme est évident, mais c'est parce que c'est seulement un exercice d'olympiades académiques, ils vont pas mettredes trucs monstrueux ! :happy2:

Patastronch a écrit:C'est un peu le but de l'exo quand meme, si ta démo c'est "pas de soucis" ca fait un peu léger. D'ailleur avec une telle explication on se demande pourquoi tu prend la peine de diviser le pseudo carré en 4.C'est pas plus simple de calculer l'aire du carré et apres "pas de soucis" pour les arrondis en plus ?

La découpe en 4 donne, comme je l'ai expliqué, 4 pseudo triangles rectangles isocèles. La longueur du coté de l'angle droit est une mesure quasi directe, d'où son intérêt. Il vaut mieux de toute façon profiter des symétries quand on le peut. :happy2:

nodgim a écrit:La découpe en 4 donne, comme je l'ai expliqué, 4 pseudo triangles rectangles isocèles. La longueur du coté de l'angle droit est une mesure quasi directe, d'où son intérêt. Il vaut mieux de toute façon profiter des symétries quand on le peut. :happy2:

On peut aussi répondre à une demande d'explication autrement que par des "c'est vraiment évident et j'ai autre chose à faire" . Laisser apparaître comme évidente et très courte une démonstration dont on ne donne que l'idée générale , c'est quand même un peu tromper son monde .

Imod