Problème de construction d'un calisson (ellipse)

[passetemp]

Bonjour à tous,

Je travaille actuellement sur un projet de dimensionnement d'un calisson (forme elliptique). Une des parties de ce travail est de trouver comment construire géométriquement mon calisson pour pouvoir ensuite exploiter la forme dans mon soucis de dimensionnement. Après avoir trouver comment construire géométriquement ce calisson je dois coder le tout sous un logiciel d'éléments finis (ANSYS)

Mon calisson est en gros une ellipse discrétisée en plusieurs petits morceaux de longueur égales. Si vous voulez c'est comme si on construisait une ellipse point par point et qu'on rejoignait tous ces points de manière rectiligne et non pas curviligne.

Aujourd'hui mon principal soucis est justement d'arriver à construire les points de ce calisson à égale distance (rectiligne) l'un de l'autre.

Au départ je suis partie de la relation paramétrique de l'ellipse pour essayer de déterminer une relation permettant de savoir quelle serait la variation d'angles pour avoir une longueur constante entre chaque point. Mais je n'arrive pas à m'en sortir par cette méthode...

Une autre méthode consiste à approximer la longueur rectiligne "l" des morceaux de mon calisson puis on vient se positionner sur un point de l'ellipse et on trace un cercle de rayon "l". L'intersection du cercle de rayon "l" et de l'ellipse forme un point du calisson. Et on répète cette opération sur toute l'ellipse. Mais cette opération est beaucoup trop compliquée à coder sous le logiciel éléments finis...

Quelqu'un pourrait-il me guider vers une autre méthode de construction s'il vous plaît?

Merci beaucoup à tous,

Passetemp (oui je sais c'est sans "s" mais c'est normal :) )

[fatal_error]

salut,

en passant par la parametrique
x(t)=acost(t)
y(t)=bsin(t)
On a un point X_1, et on veut determiner le point X_2,
on a la condo ||X_1-X_2||=l
on a alors (cos(t_2) - cos(t_1))^2 + b(sin(t_2) - sin(t_1))^2 = l^2
ca donne une eq au quatrieme degre, c'est pas bon?

[passetemp]

salut,

tout d'abord merci de ta réponse.

Oui c'est ça, moi j'obtenais l'équation suivante :
l=2*sin((t_2-t_1)/2)*sqrt(a^2*(sin((t_1+t_2)/2))^2+b^2*(cos((t_1+t_2)/2))^2)

après je pense que je peux mettre une condition initial pour simplifier le calcul. Par exemple je mets t_1=0° et je solve pour chaque angle, ça peut fonctionner.

Par contre j'ai quand même un soucis pour savoir quelle longueur rectiligne "l" de mon morceaux je dois choisir...
Est ce que je dois prendre la circonférence de l'ellipse et la diviser par le nombre de morceaux? Je suis un peu coincé à ce niveau là....

Merci,

passetemp

[fatal_error]

Je sais pas, pourquoi pas.

Perso, moi jaurais bien fait un truc style, je mets un quadrillage je trace lellipse dessus, et pour chaque droite dequation x=k, je look les points dinterception avec lellipse. ( du coup ya juste a chopper le long axe de lellipse pis de diviser par 20 mettons)

Ca file un truc immediat et tant pis si les segments ont pas tous la meme taille.
Mais bon, c'est pas ce que tu cherches :(

[el niala]

juste en passant, le calisson est plus proche du losange que de l'ellipse cf ici http://www.palais-decouverte.fr/fileadmin/fichiers/infos_sciences/mathematiques/textes/formes_matematiques_revue/358_sept_oct_2k8.pdf par exemple, il me paraîtrait plus judicieux de partir en éléments finis des 2 triangles équilatéraux assemblés et pour les "arrondis" de supprimer les sommets, ça me semble beaucoup moins lourd au niveau des calculs

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce type de problème s'est posé très vite (année 1970) pour le dessin des arcs de cercles.
Des gens se sont fait "avoir" en divisant l'angle au centre en parties égales. Le bug est apparu quand il y a eu de très grands rayons, type autoroutes.
La solution était de calculer l'angle à incrémenter de façon que la distance entre la corde et l'arc soit inférieure à la perception visuelle.
La méthode actuelle est de tracer des arcs parabole. La parabole a la propriété très intéressante que la division des arcs est obtenue par une simple division par 2, donc très rapide.

PS . Je viens de relire l'énoncé, et il semble que l'égale longueur de éléments rectilignes est une hypothèse de base. Si c'est le cas, alors mon système ne marche pas.
Par contre, en regardant le lien sur le théorème cité, je me demande si sa forme géométrique ne serait pas plutôt l'intersection de 2 disques. En ce cas, les deux arcs de cercle sont égaux et il suffit de diviser la longueur de l'arc par un nombre entier bien choisi, quitte à arrondir de deux pointes.

[passetemp]

En fait je suis dépendant d'un cahier des charges précis.
En gros ce "calisson" doit être construit à partir du demi-gd axe a et du demi-petit axe b de l'ellipse dans laquelle le calisson s'inscrit et du nombre de morceaux qu'il faut découper.

[Dlzlogic]

Questions : Est-ce réellement une ellipse ?
Quels sont le ordres de grandeur, l'ouvrage, les morceaux.
Ce calcul est à faire une seule fois, c'est à dire pour un caisson donné ?
Quelle est la précision demandée, c'est en particulier important pour la distance entre la corde et la position théorique de la courbe.

[passetemp]

Alors,

Le calisson devra être inscrit dans l'ellipse, donc la forme finale ne sera pas une réellement une ellipse.
Je ne connais pas encore les ordres de grandeurs et je ne sais pas en combien de morceaux il faut le découper.
Je sais qu'il faut qu'avec seulement le demi grand axe et le demi petit axe et le nombre de morceaux je puisse construire ce calisson.
Et non il n'y a pas de calisson donné, le but est justement d'arriver à trouver un nombre de morceaux optimal pour le problème donné.

Quand à la précision je n'ai pas d'info non plus.

Désolé si je ne peux pas donner d'informations supplémentaires.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai un peu regardé dans des cours. Le calcul de la longueur d'un arc de conique est difficile à faire.
Voilà comment je procéderais.
D'abord on travaille sur un quart d'ellipse.
On divise cet arc à peu près en 2.
On considère que ce sont des arcs de parabole.
On calcule la différence maxi entre les 2 arcs, et éventuellement on divise encore en 2.
Le but est de diviser un quart d'ellipse en arcs de parabole, tels que la précision résultante soit le 1/10 de la précision nécessaire.
Mais là je bloque à cause de l'égalité des morceaux.

Le calisson devra être inscrit dans l'ellipse, donc la forme finale ne sera pas une réellement une ellipse.

Donc, pourquoi une ellipse et non pas deux arcs de cercle ?

PS J'ai retrouvé mon idée : le but de diviser en morceaux 10 fois trop petits est de se fixer l'unité de "division", et ensuite déduire la longueur définitive avec le PGCD.