Tangente et logarithme neperien DM

[toctoc]

bonjour j'ai supprimer ce post afin que les personnes essayent de résoudre seul. Il ne faut pas chercher la facilité et essaye de comprendre j'ai réussi vous pouvez réussir et posté vos exercices pour que le forum puisse vous aider
Courage

[capitaine nuggets]

bonjour a tous j'ai un dm de math a rendre et c'est un problème ouvert
1)conjecturer grâce a Geogebra la position de T la tangente par rapport a la courbe Z de la fonction ln(x)au point A
j'ai conjecturé que la tangente et toujours au dessus de la courbe de la fonction ln(x)et que en plus on a l'impression que en +;) on a l'impression que la courbe et la tangente ce rapproche.
2)Démontrer cette conjecture
alors j'ai fait la dérivée et l'équation de tangente je trouve
F(x)=ln(x)
F'(x)=1/x
donc l'équation de la tangente est
Ta:y=F'(a)(x-a)+F(a)
=(1/a)(x-a)+ln(a)
=x/a -1+ln(a)
j'ai etudier les variations et j'ai derivée la fonction g(x) = x/a - 1 + ln a - ln x afin d'avoir la position de ln(x)
j'ai essaye de dériver mais il faut faire juste un tableau avec a>0 vus que la courbe ln est toujours positif ?
j'ai trouver
g'(x)=(x-a)/ax
pas besoin de faire le signe de ax comme a>0 il sera toujours positif je fais donc le signe de x-a
mais si je fais le signe de x-a je trouve négatif puis ensuite positif mais cela ne prouve pas ma conjecture car ça signifierais que la tangente est en dessous puis au dessus alors qu'elle est tout le temps au dessus ?
Merci de votre aide !!

Salut !

Ce n'est pas mentionné, mais je suppose que est le point de d'abscisse ?
Posons comme tu l'as fait .
En supposant fixé, étudie les variations de la fonction pour montrer que :+++:

[toctoc]

Salut !

Ce n'est pas mentionné, mais je suppose que est le point de d'abscisse ?
Posons comme tu l'as fait .
En supposant fixé, étudie les variations de la fonction pour montrer que :+++:

et j'ai fais le tableau de variation mais apres comment montrer que Ga(x)>0 ? et cela prouverais quoi
merci

[capitaine nuggets]

et j'ai fais le tableau de variation mais apres comment montrer que Ga(x)>0 ? et cela prouverais quoi
merci

Si tu as fait le tableau de variations, montrer que , devrais se déduire du tableau.

signifierait qu'alors

Attention : j'ai intervertis et dans le ln de l'expression de : :doh: (j'ai encadrer la formule pour cibler l'erreur).

[toctoc]

Salut !

Ce n'est pas mentionné, mais je suppose que est le point de d'abscisse ?
Posons comme tu l'as fait .
En supposant fixé, étudie les variations de la fonction pour montrer que :+++:

et dans l'expression
c'est Ga(x)= (x/a)-1+ln(a/x)

[toctoc]

Si tu as fait le tableau de variations, montrer que , devrais se déduire du tableau.

signifierait qu'alors

Attention : j'ai intervertis et dans le ln de l'expression de : :doh: (j'ai encadrer la formule pour cibler l'erreur).

Oui oui je me disais bien qu'il y avait un soucis quand j’écrivais la formule Merci

enfaîte moi j'ai fait la dérivée de Ga(x) donc avec ça j'ai fait le tableau de signe et après j'ai fait le tableau de variation mais du coup je n'ai pas trop compris l’inéquation qu'est ce que ça va nous apporter pour démontrer que la tangente est au dessus de la courbe de ln(x)

[capitaine nuggets]

Oui oui je me disais bien qu'il y avait un soucis quand j’écrivais la formule Merci

enfaîte moi j'ai fait la dérivée de Ga(x) donc avec ça j'ai fait le tableau de signe et après j'ai fait le tableau de variation mais du coup je n'ai pas trop compris l’inéquation qu'est ce que ça va nous apporter pour démontrer que la tangente est au dessus de la courbe de ln(x)

Pour deux fonctions et définies sur et de courbes respectives et , est au dessus-de ssi pour tout , .

:+++:

[toctoc]

Oui oui je me disais bien qu'il y avait un soucis quand j’écrivais la formule Merci

enfaîte moi j'ai fait la dérivée de Ga(x) donc avec ça j'ai fait le tableau de signe et après j'ai fait le tableau de variation mais du coup je n'ai pas trop compris l’inéquation qu'est ce que ça va nous apporter pour démontrer que la tangente est au dessus de la courbe de ln(x)

[img]20150405_172422.jpg[/img]

[zygomatique]

et pourtant tout est dit ici :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-637561.html

il est d'autre part sans intérêt de remplacer ln x - ln a par ln (x/a) puisque quand on dérive ln a est une constante ....

g(x) = x/a - 1 + ln a - ln x

g'(x) = 1/a - 1/x = (x - a)/(ax)


g'(x) > 0 x > a

donc g est décroissante sur ]0, a] et croissante sur [a, +oo[

or g(a) = 0 donc g(x) >= 0

.....

[toctoc]

Pour deux fonctions et définies sur et de courbes respectives et , est au dessus-de ssi pour tout , .

:+++:

Oui oui j'ai compris merci mais ducoup je n'ai pas compris comment trouver que Ga(x) est plus grand que 0 grace au tableau de variation
Pour mon tableau de variation j'ai trouver que sur ]-infini 0[ la fonction Ga(x) est croissante (mais cette intervalle on n'en a pas besoin car la fonction ln est positive) puis j'ai trouvée que sur l'intervalle ]0;a[ la fonction est décroissante et enfin je trouve que sur l'intervalle ]a;+infini[ la fonction est croissante je sais pas comment deduire le signe de ce tableau a moin que je dois faire intervenir le theoreme des valeurs intermediaire ?

[toctoc]

et pourtant tout est dit ici :: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-637561.html

il est d'autre part sans intérêt de remplacer ln x - ln a par ln (x/a) puisque quand on dérive ln a est une constante ....

g(x) = x/a - 1 + ln a - ln x

g'(x) = 1/a - 1/x = (x - a)/(ax)


g'(x) > 0 x > a

donc g est décroissante sur ]0, a] et croissante sur [a, +oo[

or g(a) = 0 donc g(x) >= 0

.....

oui j'ai trouver le même tableau et j'ai aussi trouver pour g(a)=0 mais je ne sais pas a quoi cela m'engage ? :hein: :hein: :hein:

[capitaine nuggets]

oui j'ai trouver le même tableau et j'ai aussi trouver pour g(a)=0 mais je ne sais pas a quoi cela m'engage ? :hein: :hein: :hein:

Je n'ai pas fait les calculs, mais si est décroissante sur et croissante sur alors admet un minimum sur atteint en (point de changement de monotonie). Donc pour tout , . Or donc ... :+++:

[toctoc]

Je n'ai pas fait les calculs, mais si est décroissante sur et croissante sur alors admet un minimum sur atteint en (point de changement de monotonie). Donc pour tout , . Or donc ... :+++:

donc Ga(x)>0 car Ga(a)=0 je crois que j'ai compris je reviendrais vers vous si j'ai un autre soucis
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me repondre :we: :lol3:

[zygomatique]

et pourtant c'est ce que j'ai écrit deux post plus haut ....

[toctoc]

et pourtant c'est ce que j'ai écrit deux post plus haut ....

oui désolé mais j'arrivais pas a visualiser excusez moi mais merci cela m'a quand même été d'une aide importante