Equation de variable complexe

[ArtyB]

Bonjour,
Pour résoudre:

On a: ou
Je ne sais pas comment résoudre de façon formelle ces équations mais j'ai remarqué que:
-si je prends x=-2i, alors j'ai
-si je prends x=2+i, alors j'ai
Sont-ce là les seules solutions ?
Comment le vérifier ?

[Manny06]

Bonjour,
Pour résoudre:

On a: ou
Je ne sais pas comment résoudre de façon formelle ces équations mais j'ai remarqué que:
-si je prends x=-2i, alors j'ai
-si je prends x=2+i, alors j'ai
Sont-ce là les seules solutions ?
Comment le vérifier ?

x-i-1 est une des racines cubiques de 1 qui sont 1,j et j²
j=-1/2+iV3/2
j²=-1/2-iV3/2
de même x+i est une des racines 5° de -i
comme -i a pour module 1 et argument -pi/2
les 5 racines 5° ont pour module 1 et argument -pi/10+2kpi/5 avec k entier variant de 0 à 4

[ArtyB]

Merci de votre réponse,
Comment déterminer par le calcul les racines cubiques de 1 ?
De même pour les racines de degré 5 de -i comment savez quel est leur module et argument ?

[Manny06]

Merci de votre réponse,
Comment déterminer par le calcul les racines cubiques de 1 ?
De même pour les racines de degré 5 de -i comment savez quel est leur module et argument ?

Il existe un cours sur les racines n° d'un nombre complexe
un nombre complexe non nul de module r et argument t a n racines n°
leur module est racine nIème de r
leur argument
t/n +2kpi/n avec k entier variant de 0 à (n-1)
vous trouverez ceci mieux expliqué sur internet en tapant
racines n-ième d'un nombre complexe
ce sujet est traité en terminale S

[ArtyB]

Les programmes ont dû changé alors parce que quand j'y étais je n'ai jamais fait ça (c'était il n'y a pas si longtemps pourtant, en 2013). Merci en tous cas, je vais regarder ça de plus prés.

[ArtyB]

D'accord, alors voilà ce que j'ai trouvé, les racine n-ième d'un nombre complexe Z sont de la forme:

Avec:
-R module de Z
- argument de Z

Donc ici si je prends Z=1, j'ai son argument=0 et module=1
d'où racine n-ieme=
Ici n=3 d'où :
racine n-ième=
racine n-ième=
et ensuite ?

Si je prends Z=i j'ai argument= et module=1
d'où racine n-ième=
Ici n=5 d'où
racine n-ième=
racine n-ième=
Et ensuite ?

[Manny06]

D'accord, alors voilà ce que j'ai trouvé, les racine n-ième d'un nombre complexe Z sont de la forme:

Avec:
-R module de Z
- argument de Z

Donc ici si je prends Z=1, j'ai son argument=0 et module=1
d'où racine n-ieme=\sqrt[n]{1} e^{i\frac{0}{n} +\frac{2k\pi}{n}}
Si je prends Z=i j'ai argument= et module=1
d'où racine n-ièe=\sqrt[n]{1} e^{i\frac{\frac{\pi}{2}}{n} +\frac{2k\pi}{n}}

je n'arrive pas à lire ton écriture

[ArtyB]

Au temps pour moi, je faisais des modifications c'est peut être pour ça, ça marche là ?

[Manny06]

Au temps pour moi, je faisais des modifications c'est peut être pour ça, ça marche là ?

attention dans toutes les écritures d'exposant i est en facteur

[ArtyB]

Ah oui au temps pour moi, j'avais totalement oublié. Voilà c'est modifié !

[ArtyB]

Mais du coup une fois que l'on a ces formes de racines n-ièmes on en fait quoi ?

[ArtyB]

Personne pour me guider ? :(

[mathelot]

On a:
Je ne sais pas comment résoudre de façon formelle ces équations mais j'ai remarqué que:
-si je prends x=-2i, alors j'ai

bien vû.

appelons z_0 cette racine -2i







en quotientant membres à membres




est donc une racine 5ème de l'unité.

Les cinq racines de l'unité sont supposées connues (car et )

[fibonacci]

Aussi...





d'où les racines:

[ArtyB]

Waow ça m'a l'air bien compliqué tout ça.

Je suis d'accord sur le fait que ça soit une racine 5ème de l'unité mais en quoi ça nous sert ici ?
En fait ce que je ne comprends pas c'est la méthode à adopter pour résoudre cet exercice, comment faut il procéder ?

[mathelot]

Waow ça m'a l'air bien compliqué tout ça.

Je suis d'accord sur le fait que ça soit une racine 5ème de l'unité mais en quoi ça nous sert ici ?
En fait ce que je ne comprends pas c'est la méthode à adopter pour résoudre cet exercice, comment faut il procéder ?

soit la racine 5eme générique.

si est une racine particulière (ici -2i) les autres racines sont obtenues par

[ArtyB]

Alors c'est pire que tout, j'ai beau avoir lu et relu mon cours sur les racine n-ièmes je ne comprends pas du tout ce que vous faîtes là.
"racine n-ième générique" ça veut dire quoi ?
Et qu'est-ce que ?

[mathelot]

Alors c'est pire que tout, j'ai beau avoir lu et relu mon cours sur les racine n-ièmes je ne comprends pas du tout ce que vous faîtes là.
"racine n-ième générique" ça veut dire quoi ?
Et qu'est-ce que ?

oui, ça signifie "forme générale des racines"
5 est premier. elles sont toutes de la forme avec i=0,1...4

[ArtyB]

Ah d'accord, merci , mais la forme générale des racines c'est bien:

et là vous dîtes que c'est:

ce qui revient à dire:

et je ne comprends pas ce que cela veut dire.
En fait c'est vraiment la méthode qui me manque je ne sais pas quoi faire quand je suis devant mon équation, à part
1) egaliser chaque expression entre paranthèse à 0
2) chercher des solutions évidentes

Quelle est la méthode pour trouver la forme des solutions générales ? Et comment résoudre cet exercice de manière rigoureuse ?

[mathelot]

soit (1) et une solution




les solutions de (1) sont (pour k=0,1...n-1) où