Loi d'une variable aléatoire de paramètre une autre variable

[dalil]

Bonjour à tous.

Je cherche à exprimer la densité de probabilité que suit une variable aléatoire qui suit une loi de normale d'espérance et de variance dans le cas ou est elle même une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [0,D].

Ce qui est nouveau pour moi, c'est d'avoir une v.a.r dont la loi dépend d'un paramètre qui est lui même une v.a.r.

Merci d'avance

[DamX]

Bonjour à tous.

Je cherche à exprimer la densité de probabilité que suit une variable aléatoire qui suit une loi de normale d'espérance et de variance dans le cas ou est elle même une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [0,D].

Ce qui est nouveau pour moi, c'est d'avoir une v.a.r dont la loi dépend d'un paramètre qui est lui même une v.a.r.

Merci d'avance

Hello,

Je suppose que le tirage de la gaussienne est indépendant du tirage de la loi uniforme, ce qui doit être le cas pour ton exercice à mon avis.
En pratique c'est comme ça que ça se passe : tu fais le tirage du (des) paramètres variables (ici mu) suivant leur loi. Puis tu fais le tirage de X suivant la loi qui dépend des paramètres précédemments tirés (loi normale (mu,sigma)).

Il y a ensuite plusieurs façons de le voir qui aboutissent bien évidemment au même résultat :

1) De manière brutale, en le voyant de la même façon que pour calculer la loi de la somme de variables aléatoires indépendantes :

Pour que X vaille x, il faut que le tirage de mu vaille m, et que le tirage de la loi N(m,sigma) vaille x.

Du coup en fait tu as en notant f_m la loi de N(m,sigma) :


où pY est la densité de l'aléatoire, on peut donc réécrire tout ça en remplaçant par ce que ça vaut :


Tu peux aller un peu plus loin ensuite dans le calcul en voyant comme un différentiel entre deux bornes de la fonction de répartition de la loi normale mais je te laisse voir ça.

2) La 1) est valable de manière générale, on peut utiliser ce processus quand tu as des variables à paramètres eux memes variables. A présent une façon de voir plus intuitive peut-être, mais qui est spécifique à ton exemple.

Ton paramètre qui varie est la moyenne. Donc dans une réalisation, tu choisis la moyenne puis tu simules une valeur de la gaussienne correspondante. Mais en fait ce qui est est cool avec les gaussiennes, c'est qu'une gaussienne N(m,sigma), c'est en fait juste une normale translatée de m, c'est à dire "N(m,sigma) = m + N(0,sigma)" (c'est mis des guillemets pour dire au sens de la loi).

Bref du coup en la voyant comme ça, tu peux réécrire ta variable X comme :

X = G + M,
où G ~ N(0,sigma)
M ~u([0,D])
G et M étant indépendantes.

Et en fait comme ça c'est cool, parce que c'est une somme de variables indépendantes donc la densité de la somme c'est la convolution des densités et tu retombes bien sur la même expression !

L'avantage de cette formulation, c'est que ça te permet de récupérer les moments de ta loi X sans te fatiguer !

moyenne(X) = moyenne(G) + moyenne(M) = 0 + D/2 = D/2

et

puisque M et G sont indépendantes.

Enfin, en terme de visualisation intuitive de cette loi, c'est comme si tu "étales" en quelque sorte une gaussienne sur [0,D], mais ça n'est plus du tout une gaussienne !

Damien

[dalil]

Hello,

Je suppose que le tirage de la gaussienne est indépendant du tirage de la loi uniforme, ce qui doit être le cas pour ton exercice à mon avis.
En pratique c'est comme ça que ça se passe : tu fais le tirage du (des) paramètres variables (ici mu) suivant leur loi. Puis tu fais le tirage de X suivant la loi qui dépend des paramètres précédemments tirés (loi normale (mu,sigma)).

Il y a ensuite plusieurs façons de le voir qui aboutissent bien évidemment au même résultat :

1) De manière brutale, en le voyant de la même façon que pour calculer la loi de la somme de variables aléatoires indépendantes :

Pour que X vaille x, il faut que le tirage de mu vaille m, et que le tirage de la loi N(m,sigma) vaille x.

Du coup en fait tu as en notant f_m la loi de N(m,sigma) :


où pY est la densité de l'aléatoire, on peut donc réécrire tout ça en remplaçant par ce que ça vaut :


Tu peux aller un peu plus loin ensuite dans le calcul en voyant comme un différentiel entre deux bornes de la fonction de répartition de la loi normale mais je te laisse voir ça.

2) La 1) est valable de manière générale, on peut utiliser ce processus quand tu as des variables à paramètres eux memes variables. A présent une façon de voir plus intuitive peut-être, mais qui est spécifique à ton exemple.

Ton paramètre qui varie est la moyenne. Donc dans une réalisation, tu choisis la moyenne puis tu simules une valeur de la gaussienne correspondante. Mais en fait ce qui est est cool avec les gaussiennes, c'est qu'une gaussienne N(m,sigma), c'est en fait juste une normale translatée de m, c'est à dire "N(m,sigma) = m + N(0,sigma)" (c'est mis des guillemets pour dire au sens de la loi).

Bref du coup en la voyant comme ça, tu peux réécrire ta variable X comme :

X = G + M,
où G ~ N(0,sigma)
M ~u([0,D])
G et M étant indépendantes.

Et en fait comme ça c'est cool, parce que c'est une somme de variables indépendantes donc la densité de la somme c'est la convolution des densités et tu retombes bien sur la même expression !

L'avantage de cette formulation, c'est que ça te permet de récupérer les moments de ta loi X sans te fatiguer !

moyenne(X) = moyenne(G) + moyenne(M) = 0 + D/2 = D/2

et

puisque M et G sont indépendantes.

Enfin, en terme de visualisation intuitive de cette loi, c'est comme si tu "étales" en quelque sorte une gaussienne sur [0,D], mais ça n'est plus du tout une gaussienne !

Damien

Compris, merci !