"?ric" a écrit dans le message de news:
1de9499a.0502161902.264f620e@posting.google.com...
> On a une urne qui contient 2 balles blanches et 3 balles rouges. On[color=green]
>> tire une balle puis on remet cette balle avec une autre de la même
>> couleur. Posons Bn l'évènement "On tire une blanche au n ième tir".
>> Montrer par induction que P(Bn)=2/5 pour tout n.
>>
>> Je ne sais pas comment l'aborder. Merci à l'avance.[/color]
Il y a à mon avis une façon intuitive assez simple :
Numérotons nos balles de 1 à 5.
Chaque fois que l'on remet deux balles en jeu après un tirage, on donne à
ces deux balles le même numéro (entre 1 et 5) que celui de la balle tirée.
Il est "clair" que les cinq événements "Je tire au n ième tirage une balle
marquée 1", "Je tire au n ième tirage une balle marquée 2", "Je tire au n
ième tirage une balle marquée 3", "Je tire au n ième tirage une balle
marquée 4", "Je tire au n ième tirage une balle marquée 5" sont
équiprobables, et donc de probabilité 1/5.
Comme il y a équivalence entre "je tire au n ième tirage une balle blanche"
et "je tire au n ième tirage une balle marquée 1 ou marquée 2 (en supposant
1 et 2 soient les numéros des deux balles blanches initiales)", on a le
résultat cherché.
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On peut aussi le faire "bourrin" :
Soit B(n,i) la probabilité d'avoir i balles blanches dans la configuration
avant le n ième tirage.
On a : B(n,i) = [(n+3-i)B(n-1,i) + i B(n-1,i-1)]/(n+3)
Qui se résoud en B(n,i) = 6i(i-1)(n+2-i)(n+3-i)/[n(n+1)(n+2)(n+3)]
Il "suffit" ensuite de calculer P(Bn)= Sigma(iB(n,i)) pour i allant de 2 à
n+1.
Bourrin de chez bourrin.