Probabilités, un problème que je n'arrive pas à résoudre

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Anonyme

Probabilités, un problème que je n'arrive pas à résoudre

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:19

On a une urne qui contient 2 balles blanches et 3 balles rouges. On
> tire une balle puis on remet cette balle avec une autre de la même
> couleur. Posons Bn l'évènement "On tire une blanche au n ième tir".
> Montrer par induction que P(Bn)=2/5 pour tout n.
>
> Je ne sais pas comment l'aborder. Merci à l'avance.



Anonyme

Re: Probabilités, un problème que je n'arrive pas à résoudr

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:19

"?ric" a écrit dans le message de news:
1de9499a.0502161902.264f620e@posting.google.com...
> On a une urne qui contient 2 balles blanches et 3 balles rouges. On[color=green]
>> tire une balle puis on remet cette balle avec une autre de la même
>> couleur. Posons Bn l'évènement "On tire une blanche au n ième tir".
>> Montrer par induction que P(Bn)=2/5 pour tout n.
>>
>> Je ne sais pas comment l'aborder. Merci à l'avance.
[/color]

Il y a à mon avis une façon intuitive assez simple :

Numérotons nos balles de 1 à 5.
Chaque fois que l'on remet deux balles en jeu après un tirage, on donne à
ces deux balles le même numéro (entre 1 et 5) que celui de la balle tirée.

Il est "clair" que les cinq événements "Je tire au n ième tirage une balle
marquée 1", "Je tire au n ième tirage une balle marquée 2", "Je tire au n
ième tirage une balle marquée 3", "Je tire au n ième tirage une balle
marquée 4", "Je tire au n ième tirage une balle marquée 5" sont
équiprobables, et donc de probabilité 1/5.

Comme il y a équivalence entre "je tire au n ième tirage une balle blanche"
et "je tire au n ième tirage une balle marquée 1 ou marquée 2 (en supposant
1 et 2 soient les numéros des deux balles blanches initiales)", on a le
résultat cherché.


*******

On peut aussi le faire "bourrin" :
Soit B(n,i) la probabilité d'avoir i balles blanches dans la configuration
avant le n ième tirage.
On a : B(n,i) = [(n+3-i)B(n-1,i) + i B(n-1,i-1)]/(n+3)
Qui se résoud en B(n,i) = 6i(i-1)(n+2-i)(n+3-i)/[n(n+1)(n+2)(n+3)]
Il "suffit" ensuite de calculer P(Bn)= Sigma(iB(n,i)) pour i allant de 2 à
n+1.

Bourrin de chez bourrin.

Anonyme

Re: Probabilités, un problème que je n'arrive pas à résoudr

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:19

"?ric" a écrit dans le message de news:
1de9499a.0502161902.264f620e@posting.google.com...
> On a une urne qui contient 2 balles blanches et 3 balles rouges. On[color=green]
> > tire une balle puis on remet cette balle avec une autre de la même
> > couleur. Posons Bn l'évènement "On tire une blanche au n ième tir".
> > Montrer par induction que P(Bn)=2/5 pour tout n.
> >
> > Je ne sais pas comment l'aborder. Merci à l'avance.
[/color]

Tu auras une méthode dans l'exercice 3 :
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/ec1/ds/2003_2004/pdf/ds5.pdf
(il suffit de généraliser un peu)
ou plus directement dans l'exercice 3 de nouveau à
http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/ec2/concours/pdf/eml/eml_1999
_E_1.pdf


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http://www.mathematiques.fr.st
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