Congruences
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
-
upium666
- Membre Relatif
- Messages: 404
- Enregistré le: 14 Mai 2012, 22:44
-
par upium666 » 31 Mai 2014, 22:34
Bonjour à tous et à toutes !
Soit un entier naturel
Soit un entier relatif
tel que :
A quoi est congru
modulo
?
Je pense qu'il y a une équation diophantienne à résoudre, enfin ché pas trop comment faire :p
Merci de m'aider
-
L.A.
- Membre Irrationnel
- Messages: 1709
- Enregistré le: 09 Aoû 2008, 17:21
-
par L.A. » 31 Mai 2014, 22:39
Bonsoir.
Vu que n et n-1 sont premiers entre eux, un entier A congru à 1 modulo n peut être congru à n'importe quoi modulo n-1. Il n'y a pas de lien entre les deux.
Prenons n=7 : 8,15,22,29,... sont congrus à 1 mod 7 mais à 2,3,4,5,... mod 6
-
jlb
- Habitué(e)
- Messages: 1886
- Enregistré le: 27 Jan 2013, 18:35
-
par jlb » 31 Mai 2014, 23:23
1 + (A-1)/n ??
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 01 Juin 2014, 12:42
salut
il existe des entiers relatifs u et v tels que ua + vn = 1 ua + v(n - 1) = 1 - v
d'autre part on sait que une fois trouvé un couple (u, v) solution alors les solutions sont les couples (U, V)= (u - kn,, V + ka)
donc Ua + V(n - 1) = 1 - V
il suffit de trouver les valeurs de k tels que
....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
jlb
- Habitué(e)
- Messages: 1886
- Enregistré le: 27 Jan 2013, 18:35
-
par jlb » 01 Juin 2014, 13:09
zygomatique a écrit:salut
il existe des entiers relatifs u et v tels que ua + vn = 1 ua + v(n - 1) = 1 - v
d'autre part on sait que une fois trouvé un couple (u, v) solution alors les solutions sont les couples (U, V)= (u - kn,, V + ka)
donc Ua + V(n - 1) = 1 - V
il suffit de trouver les valeurs de k tels que
....
euh, c'est pas plutôt: il existe x tel que A-1=xn d'où A-1-x=x(n-1) donc x=(A-1)/n et A est congru à 1+x modulo n-1
-
L.A.
- Membre Irrationnel
- Messages: 1709
- Enregistré le: 09 Aoû 2008, 17:21
-
par L.A. » 01 Juin 2014, 13:26
jlb a écrit:1 + (A-1)/n ??
Certes, mais cette formule suppose qu'on connaisse l'entier A alors que (si mon interprétation de la question est correcte) on sait seulement que sa classe modulo n est 1.
Et si on connait l'entier A, on connait automatiquement sa classe modulo n'importe quoi.
Mais je me trompe peut-être effectivement de problème...
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 01 Juin 2014, 13:28
a - 1 = xn <==> a - xn = 1 <==> a(1 + kn) + (-x -ka)n = 1
k variant dans Z
....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
zygomatique
- Habitué(e)
- Messages: 6928
- Enregistré le: 20 Mar 2014, 13:31
-
par zygomatique » 01 Juin 2014, 13:30
certes oui mais on peut donner la forme de ce "n'importe quoi" ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
-
paquito
- Membre Complexe
- Messages: 2168
- Enregistré le: 26 Fév 2014, 13:55
-
par paquito » 01 Juin 2014, 13:32
Je pense qu'il n'y a pas de réponse; par exemple on a 10^k=1[9] pour tout entier k, mais, modulo 8,
10^0=1, 10=2, 10^2=4, 10^3=0 et après 10^k=0, ce qui fait 4 possibilités qui ne découlent pas de 10^k=1[9]. Je suis complètement d'accord avec L.A.
-
L.A.
- Membre Irrationnel
- Messages: 1709
- Enregistré le: 09 Aoû 2008, 17:21
-
par L.A. » 01 Juin 2014, 13:35
Bon OK, comme A est congru a 1 mod n, on en déduit que A est congru à 1+(A-1)/n mod n-1.
Mais en quoi est-ce que cette formule est plus utile que A congru à A mod (n-1) ?
Pour les A petits, ta formule donne LE reste situé entre 0 et n-2 disons, mais pour les A plus grands il faudra écrire d'autres formules, et encore d'autres plus A est grand, etc...
-
chan79
- Membre Légendaire
- Messages: 10330
- Enregistré le: 04 Mar 2007, 20:39
-
par chan79 » 01 Juin 2014, 14:54
jlb a écrit:1 + (A-1)/n ??
J'aurais dit ça aussi.
On sait qu'il existe un entier k tel que A=1+k*n (on a k=(A-1)/n)
A=1+k(n-1)+k
A=1+k modulo (n-1)
A=1+(A-1)/n modulo (n-1)
Reste à savoir à quoi ça pourrait servir ???
10000=1 modulo 9 donne
10000=1+1111=1112 modulo 8 :look2:
-
paquito
- Membre Complexe
- Messages: 2168
- Enregistré le: 26 Fév 2014, 13:55
-
par paquito » 01 Juin 2014, 15:03
A=1[n] signifie qu'il existe un entier q supposé>=1 tel que A=nq+1, donc on a aussi A=(n-1)q+q+1, soit A=q+1[n-1] ce qui ne se déduit pas du tout de A=1[n]; il faudrait faire la division euclidienne de (A-1) par n pour répondre et obtenir un résultat inexploitable si q est grand : strictement aucun intérêt; autant faire la division euclidienne de A par n-1.
-
jlb
- Habitué(e)
- Messages: 1886
- Enregistré le: 27 Jan 2013, 18:35
-
par jlb » 01 Juin 2014, 15:08
chan79 a écrit:J'aurais dit ça aussi.
On sait qu'il existe un entier k tel que A=1+k*n (on a k=(A-1)/n)
A=1+k(n-1)+k
A=1+k modulo (n-1)
A=1+(A-1)/n modulo (n-1)
Reste à savoir à quoi ça pourrait servir ???
10000=1 modulo 9 donne
10000=1+1111=1112 modulo 8 :look2:
Salut Chan, à rien à priori: la personne qui a posté aime bien les maths et se pose des questions, des énigmes à un niveau TS je crois. Je pense que c'est ce qu'il attendait. Après, je me trompe peut-être. Et dans tous les cas, je pense qu'il apprécie qu'on lui réponde, comme toute personne sur ce site.
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 58 invités