Classe d'equivalence

[magy]

bonjour,voila mon probleme:
On définit sur Z la relation xRy ssi x+y est paire
1)Montrer qu'on définit une relation d'equivalence(Deja fait)
2) Donner les classes d'equivalences de cette relation(je bloque ici)

[barbu23]

bonjour,voila mon probleme:
On définit sur Z la relation xRy ssi x+y est paire
1)Montrer qu'on définit une relation d'equivalence(Deja fait)
2) Donner les classes d'equivalences de cette relation(je bloque ici)

Bonjour : :happy3:
Ta relation d'équivalence est équivalente :
:

Qui équivaut aussi à :

Qu'est ce que tu en déduit ?

[Sourire_banane]

Salut,

La somme de deux éléments pairs est paire, et idem lorsque ces deux éléments sont impairs.

[magy]

Donc la classe d'equivalence c'est:C={x ,tq x appartient à Z}?

[capitaine nuggets]

Quelle est la définition d'une classe d'équivalence ?

[magy]

la classe d'equivalence de x sur E c'est:C={y appartennant à E/xRy}

[Ben314]

Salut,
A mon avis, sur un exercice comme celui là, on demande de tout faire "à la main", sans trop réfléchir.
Donc à ta place, je prendrais un élément de l'ensemble Z le plus simple possible, par exemple 0 et je commencerais par regarder qui est dans la classe de 0.
- Si tout les entiers sont dans cette classe, c'est fini : il n'y a qu'une seule classe.
- Si certains entiers ne sont pas dans cette classe, on en prend un au pif et on regarde qui est dans la classe de ce nouvel élément (la théorie nous dit qu'il n'y aura aucun élément commun à cette nouvelle classe et à la classe de 0).
- On regarde de nouveau si tout les entiers sont dans une des deux classes déjà vues (celle de 0 et l'autre).
Si oui, c'est fini : il y a deux classes.
Si non, on choisi au pif un élément qui n'est dans aucune des deux clases et on étudie la classe de cet élément...
- Etc... j'usqu'à ce qu'on ait toutes les classes ou bien qu'on ait suffisement compris "comment ça marche" pour pouvoir dire qu'il y a une infinité de classes et de dire lesquelles.

[magy]

ce que j'ai écrit en haut c'est pas juste?

[Losange]

Donc la classe d'equivalence c'est:C={x ,tq x appartient à Z}?

C'est faux. En partie car {x ,tq x appartient à Z}=Z.

la classe d'equivalence de x sur E c'est:C={y appartennant à E/xRy}

C'est juste.

[magy]

Qu'est-ce que je dois faire pour trouver la classe d'equivalence?Parce que je ne comprends pas trop la methode de Ben314

[Losange]

Pourquoi dites vous LA classe d'équivalence ?
A priori, il y en a plusieurs.

Commencez par essayer de déterminer la classe d'équivalence de zéro.
Ensuite seulement, vous chercherez la classe d'équivalence d'un autre nombre (par exemple un).

[magy]

la classe d'equivalence de 0 c'est 0 et 1, celui de 1 c'est 1 et 2?

[magy]

Au fait je pensais que {x} est la classe d'equivalence car x+x est toujours est pair

[Losange]

x+x est toujours est pair

Cet argument montre que x appartient à la classe d'équivalence de x. La réciproque est fausse, il n'y a pas que x dedans.

[Losange]

la classe d'equivalence de 0 c'est 0 et 1, celui de 1 c'est 1 et 2?

Non c'est impossible, car ça voudrait dire que :

• 0 équivaut à 1
• 1 équivaut à 2
• mais 0 n'équivaut pas à 2

[magy]

Donc c'est quoi?

[Losange]

Ecrivez la définition de la classe d'équivalence de zéro.

[magy]

la classe d'equivalence de x sur E c'est:C={y appartennant à E/xRy} avec x=0

[Losange]

Remplacez x par zéro
Remplacez R par sa définition.

[LA solution]

2) xRy <=> x+y est pair
pour te repondre facilement je te fais un peu de la litterature .
a) une relation d'equivalence permet de regrouper les elements d'un ensemble ici (Z) par paquet, en mettant les elements qui ont de même propriété(c'est-à-dire d' avoir la somme paire)
donc paquet=classe d'équivalence.
b) xRy <=> x+y pair
signifie que y peut se mettre dans le paquet de x à condition que x+(y) soit pair.
exemple: prenons x=0 et cherchons les elements y qui peuvent etre dans le le paquet de x qui sera une classe d'équivalence 0+(...) = -2n
0+(...) = -2n-2
"
"
"
0+(...) = -2
0+(...) = 0
0+(...) = 2
0+(...) =4
0+(...) =6
"
"
0+(...) =2n
ainsi le paquet de zero c'est-à-dire la classe de zero ={-2n.........-2,0,2,4,6,.........2n}
en effet le paquet de zero est composé des elements pairs de Z automatiquement comme Z est composé des pairs et impairs on rassemble les elements impairs dans un paquet c'est-à-dire la classe de 1 et le tour est joué