Classe d'équivalence

[valsad]

Bonjour,

Je travaile actuellement sur un problème d'algèbre sur les classes d'équivalence et c'est une notion que je cerne très mal. Du coup, je ne comprends pas vraiment l'énoncé. Pouvez-vous m'aider?

On considère sur la relation si . On admet que est une relation d'équivalence sur et on note G l'ensemble des classes d'équivalences. On note la classe de x.
1)a) Si X et Y sont deux éléments de G de représentant respectif x et y. Montrer que si on , alors cette addition est bien définie.

Les points que je ne comprends pas sont : Que représente G? et que signifie être un élément de G?

Merci.

[Finrod]

Une classe d'équivalence pour cette relation est un sous ensemble (maximal) d'éléments tous équivalents.

Ici il s'agit donc d'ensembles dont les éléments sont séparés par des valeurs entières.

De la forme

Cet ensemble contient bien des éléments équivalents et il est maximal au sens ou il contient tous les équivalents de .

On remarque alors que tout réel admet un unique équivalent dans [0,1[, ce qui permet de construire un morphisme de G dans [0,1[. on vérifie qu'il est bijectif.

L'addition sur G est alors de la forme (i.e. la partie après la virgule)

[Nightmare]

Salut,

un exemple qui te parle peut être plus : La relation "être de même taille que" est une relation d'équivalence entre les humains, une classe d'équivalence pour cette relation est formée de toutes les personnes qui font la même taille. On aura donc la classe d'équivalence des personnes qui font 1m70, la classe d'équivalence contenant toutes les personnes qui font 1m81 etc.

Supposons que pour une étude de confort (dans un certain habitacle), on ait uniquement besoin de distinguer les personnes par leur taille, alors il est naturel de ranger les personnes en classe d'équivalence.

Ici c'est la même chose, on range les réels selon leur partie fractionnaire.

[valsad]

Tu veux dire que si je prends x=3,5 et y=4,5 comme j'ai x-y=-1;) alors et et donc G={...,-2,-1,0,1,2,...}?

Mais que signifie ?

[Finrod]

Tu veux dire que si je prends x=3,5 et y=4,5 comme j'ai x-y=-1;) alors et et donc G={...,-2,-1,0,1,2,...}?

Mais que signifie ?

Non ça ce n'est pas G, c'est juste la classe d'équivalence de 0 (ou de tout entier relatif). C'est .

Toutes les classes d'équivalence sont des ensembles analogues, tous isomorphes à

en fait ce sont des translatés de par un réel x, que l'on peut prendre dans [0,1[.

G , c'est l'ensemble de ces translatés.

[Nightmare]

Attention, déjà G est un ensemble de classes et non un ensemble d'éléments (même si, après justification, on pourra confondre les deux). Finrod a tout dit, les classes d'équivalences sont logiquement les x+Z avec x réels. Par exemple, dans le cas où x=3,5, la classe d'équivalence est l'ensemble des 3,5+k avec k un entier relatif quelconque (qui contient donc bien 4,5, en prenant k=1).

Concernant l'égalité, c'est une définition, on choisit de définir l'addition entre deux classes d'équivalence, en disant que la somme des classes est égale à la classe de la somme de deux représentants de chacune des classes. On voit alors qu'il faut vérifier que la classe d'équivalence d'une somme de deux représentant ne dépend justement pas du choix du représentant.

PS : Au cas où, je précise que j'appelle "représentant d'une classe" un élément quelconque de cette classe.

[vincentroumezy]

Cela signifie que l'addition des classes d'équivalances X et Y est égale à la classe d'équivalance de l'addition de leurs représentants x et y.

[Doraki]

Nan, G est un ensemble de classes, et les classes sont un ensemble de nombres.
Comme le dit Nightmare, chaque nombre réel x est rangé dans une classe, qu'on peut désigner par (la classe de x).

3,5 est rangé dans la classe \bar{3,5} : 3,5 \in \bar{4,5}
Pour 4,5, comme 4,5-3,5 = 1, alors 3,5 ~ 4,5, et donc 4,5 est rangé dans la même classe que 3,5 :
. On peut aussi dire que

En fait, .

Ensuite, quand on essaye de définir une opération sur les classes, on définit une
opération (x,y) -> = la classe de (x+y), pour x et y deux nombres réels, et on doit vérifier que cette opération donne une opération sur les classes.
Que si on prend un élément au hasard dans une classe ,
et un élément au hasard dans une classe , alors ne doit pas dépendre du choix de et de , mais seulement du choix de leurs classes et

[Nightmare]

Bis repetita placent :lol3:

[valsad]

Merci à tous pour ces explications. Je vais prendre un peu de temps pour essayer de comprendre tout ça!!! :euh: