Classe d'équivalence suivant un sous groupe

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

J'ai une confusion pour le groupe quotient Z/2Z

Considérons un ensemble non vide E muni d'une relation d'équivalence R
J'ai lu que l'ensemble qotient ce note E/R = {y E|xRy}
Bon OK , j'ai bien compris comment tout cela marchait

Mais en essayant d'appliquer le même principe pour groupe quotient Z/nZ , j'ai du mal.
Prenons Z/2Z pour simplifier les choses
est ce que l'ensemble {2Z(x)|x Z} a un sens ? En gros, j'ai remplacé R par 2Z

une classe suivant le sous groupe 2Z sont r+2Z={r+2q|q\in Z}
puis en faisant r+1 je retrouve une seconde classe (r+1)+2Z={(r+1)+2q|q Z}
Donc en gardant plus r fixé et en le faisant varier suivant Z j'obtiens toutes les classes d'équivalences appartenant à Z/2Z c'est a dire 2 classes ( les pairs et les impairs )

Ca j'ai compris mais je suis perdu concernant le R et le 2Z. On écrit bien R(x) alors pourquoi ne pourrions nous pas écrire 2Z(x) comme étant la classe d'équivalence d'un xZ . On aurait donc 2Z(x)=x+2Z={x+2q|q Z} ... mais je pense que c'est faux :triste:

[arnaud32]

Considérons un ensemble non vide E muni d'une relation d'équivalence R
la classe d'equivalence de x element de E suivant R est {y E|xRy}
et tu la notes par ex (x)
E/R = {(x) |x dans E}

dans le cas de Z/2Z
xRy ssi il existe k dans Z tq x-y = 2k
tu as en fait deux classes, la classe de 0, notee (0), qui est la classe des nombres paires et la classe de 1, notee (1), qui est la classe des nombres impaires
Z/2Z = {(0),(1)}

[Sylviel]

Héhé, en fait il y a deux utilisation de la notation
G/R --> R est une relation d'équivalence (tu as donné la définition)
et
G/H --> H est un sous groupe (normal si je ne dis pas de bêtise) de G. Dans ce cas la classe d'équivalence associée est : xRy ssi x-y \in H.

Rq : on n'écris pas R(x), ça n'a pas de sens ! R c'est comme "=", écris tu =(x) ? Non, c'est une relation entre 2 éléments d'un ensemble...

[Cryptocatron-11]

Rq : on n'écris pas R(x), ça n'a pas de sens ! R c'est comme "=", écris tu =(x) ? Non, c'est une relation entre 2 éléments d'un ensemble...

Je veux bien te croire mais dans ce cas, peux tu corriger l'article de wikipédia car on ne sait plus ou on en est concernant les notations. Voilà le lien (tu vas dans "classe d'équivalence")

[Doraki]

ben ils définissent R(x) comme étant la classe d'équivalence de x.
Et après avoir posé cette notation, ils l'utilisent.

Ca surcharge un peu le sens de "R" vu que maintenant il peut être utilisé de deux manières mais c'est quand même lisible.

[Cryptocatron-11]

OK je vois, on dirait qu'ils le font exprès xD
Maintenant je comprend mieux pourquoi 2Z(x) ça veut pas dire ce que je pensais.

[Sylviel]

Hum, c'est une question de notation mais moi je préfère écrire un truc du genre .

[Cryptocatron-11]

Et si un jour sur une copie, j'écris Z/2Z={{r+2q|q Z}|r Z}

C'est pas bon ?

[Doraki]

Si, c'est bon.