Topologie....ouvert ou fermé

[eratos]

A={(x,y) /in R² tq |x|<1 |y|<=1} est un ouvert? un fermé?

on peut expliciter un peu A: A=]-1,1[x]-1,1]
Vu comme ça, conjecture = c'est ni un ouvert ni un fermé, encore faut il le prouver.
C'est pas un ouvert, sinon pour tout y de ]-1,1] on peut trouver une boule de rayon r>0 et de centre (x,y) incluse dans A. Ca n'est pas le cas quand y=1. Comment je peux écrire ça proprement? je dois prendre une norme au pif et voir ce que ça donne (trouver un point qui déborde de A tout en étant dans la boule)?

pareil pour A non fermé. A non fermé <=>C(R²,A) (complémentaire de A dans R²) ouvert.
mais C(R²,A)=(]-oo,1]U[-1,+oo[)x(]-oo,1]U]-1,+oo[) et on utilise le même argument que précédement.

[lionel52]

non fermé : il suffit de prendre une suite de A qui converge pas dans A (ex : un = (1 + 1/ n, 1))

non ouvert : tu peux faire comme t'a dit ou verifier que le complémentaire B = {(x,y) € R², |x| >= 1 ou |y| > 1} n'est pas fermé en raisonnant avec la suite Un = (1, 1+1/n)


ps : vive chrono trigger!

[chan79]

A={(x,y) /in R² tq |x|0 et de centre (x,y) incluse dans A. Ca n'est pas le cas quand y=1. Comment je peux écrire ça proprement? je dois prendre une norme au pif et voir ce que ça donne (trouver un point qui déborde de A tout en étant dans la boule)?

pareil pour A non fermé. A non fermé C(R²,A) (complémentaire de A dans R²) ouvert.
mais C(R²,A)=(]-oo,1]U[-1,+oo[)x(]-oo,1]U]-1,+oo[) et on utilise le même argument que précédement.

salut
pour non ouvert
tu prends le point M(0,1)
quelle que soit la boule de centre M et de rayon r>0, le point (0,1+r/2) est dans cette boule mais pas dans A
pour non fermé, tu prends N(1,0) pour montrer que le complémentaire n'est pas ouvert

[eratos]

salut
pour non ouvert
tu prends le point M(0,1)
quelle que soit la boule de centre M et de rayon r>0, le point (0,1+r/2) est dans cette boule mais pas dans A
pour non fermé, tu prends N(1,0) pour montrer que le complémentaire n'est pas ouvert

Merci pour vos réponse.
Un autre problème:
compact ou pas? {(x,y) \in R² , x²+xy+y²<=1}
Faut montrer si c'est fermé et borné ou pas.... mais une expression comme ça c'est pas évident à manipuler. J'essaie de la transformer depuis tout à l'heure, j'arrive pas à avoir un truc simple :marteau:

Oui: chrono trigger ça poutre :lol3:

[eratos]

C={(x,y), 1Montrer que C est ouvert.
On me dit en indication de considérer le point (0,2). Mais ce point n'est pas dans C, si? A moins qu'ils ne se soient trompés (car ils persistent avec ce point même dans le corrigé, j'ai des doutes)

edit:pfff

[eratos]

Quelle est la frontière de Q?

En fait "on sait que" Q et R/Q sont denses dans R autrement dit que


La frontière de Q serait donc R :doh:

[capitaine nuggets]

La frontière de Q serait donc R :doh:

Tout à fait :++:

[alm]

[quote="eratos"]C={(x,y), 1 0[/TEX], centrée en , le point est bien dans , mais pas dans
(Je te laisse ta part de travail: verifie tout ça).

[alm]

Merci pour vos réponse.
Un autre problème:
compact ou pas? {(x,y) \in R² , x²+xy+y²<=1}
Faut montrer si c'est fermé et borné ou pas.... mais une expression comme ça c'est pas évident à manipuler. J'essaie de la transformer depuis tout à l'heure, j'arrive pas à avoir un truc simple :marteau:

Oui: chrono trigger ça poutre :lol3:

Fermé : tu le démontrer en utisant la continuité ou les suites.
Borné : Passe en ccordonées polaires et avec et
Le point est dans notre ensemble signifie que .
En remarquant , la suite devient facile ...

[alm]

A={(x,y) /in R² tq |x|0 et de centre (x,y) incluse dans A.

mal rédigé!
Tu parles de , c'est quoi?
Ce qu'il faut faire :

- Fixer un point de : par exemple (on prend pour la deuxiéme projection un point frontière ...)
- Prouver que : POUR TOUT , IL EXISTE tel que

[eratos]

Salut
Je souhaite montrer ça:
X est l'espace topologique discret si et ssi {x} est ouvert pour tout x dans X

sens direct: les singletons {x} sont tous dans l'ensemble P(X) des parties de X, donc sont par définition ouverts.

sens indirect: là je vois pas comment faire, en fait avec tout les singletons on peut construire la topologie(X, P(X)) en les réunissant (les singletons) de toutes les manières possibles.
Ou alors on construit une topologie avec les singletons et on montre que c'est la discrète ce qui revient au même :marteau:

Merci Mohamed :lol3:

[Doraki]

sens indirect: là je vois pas comment faire, en fait avec tout les singletons on peut construire la topologie(X, P(X)) en les réunissant (les singletons) de toutes les manières possibles.

ben oui, tu gommes ton "là je vois pas comment faire", tu dis le reste et t'as fini.

Formellement, tu dois montrer que si T est une topologie sur X qui contient tous les singletons, alors T = P(X). Comme tu l'as si bien dit, si A est une partie de X, A est la réunion pour x dans A des {x}. Les {x} sont dans T, et T est une topologie, donc A est dans T. Donc T = P(X).

[eratos]

Roger.
ça c'est une vraie preuve, merci :zen:

[eratos]

On munit X de la topologie discrete et on prend une partie A de X.
on cherche quels sont les fermés de A, l'interieur de A, les voisinages de x dans A, l'adherence de A

Li'ntérieur de A est A lui même car il est ouvert.
J'avais trouvé que le seule voisinage d'un point x de X était {x}, je l'avais fait hier soir avant de me coucher, je me souviens plus... (*)
l'adherence de A c'est l'ensemble {x X tq V voisinage de x, VnA non vide}
mais en prenant x dans X, VnA={x}nA est non vide que si x est dans A, autrement dit que l'adherence de A c'est A.
La topologie c'est bizarre, alors peut etre que l'interieur et la fermeture peuvent coincider. Après tout l'ensemble vide et X eux même sont fermés et ouvert à la fois.
Quand au fermés de A, je ne vois pas.

edit:(*){x} est bien un voisinage de x mais ce n'est pas le seul, c'est juste le plus "petit".

[Doraki]

Il n'y a rien à voir, il faut juste appliquer la définition de fermé, puis la définition de être ouvert pour la topologie discrète :

A est fermé <=> le complémentaire de A est ouvert <=> vrai.

Toutes les parties de X sont fermées. Et elles sont toutes ouvertes. C'est vrai que le vocabulaire n'est pas forcément très adapté.

[eratos]

Re:
(X,O) un espace topologique, A et B c O AcB
Montrer que si A est une base d'ouvert, alors B est aussi une base d'ouvert.

Donc, soit U un ouvert de X, U est réunion d'élément de A, donc réunion d'élément de B.. B est donc une base d'ouvert de X

On veut montrer que les intervalles ouverts forment une base d'ouverts de R.
on note B cette base: B= {]a,b[, (a,b)², aSoit U un ouvert de R, on veut donc montrer que U est réunion d'éléments de B.
Par suite (on munit R d'"une" topologie), il faut montrer que les intervalles ]a,b[ sont ouverts quels que soient a et b de R, aSi on trouve une boule ouverte incluse dans ]a,b[ pour tout x de ]a,b[, on aura gagné.
En faisant un petit schema, j'ai trouvé B(x,r) avec r=min(|x-a|,|x-b|)

Là j'ai un petit problème technique :zen: , c'est un peu un melimelo des notions d'espace métrique et d'espace topologique. Comment alors faire une vraie preuve (en admettant que c'est pas que des conneries que j'ai écrit)?

[deltab]

Bonjour

On veut montrer que les intervalles ouverts forment une base d'ouverts de .

Soit un espace métrique, alors les boules ouvertes forment une base de .

Si on peut démontrer cette propriété pour , on l'a automatiquement pour .
Pour (1) Il suffit de se rappeler qu'un ouvert A est voisinage de chacun de ses points et pour le cas de juste se rappeler qu'un intervalle ouvert borné ]a,b[ est une boule ouverte de centre .... et de rayon r=.....? et qu'un intervalle ouvert non borné est lui même un ouvert.

Autre indication: Adapte la démonstration faite pour la topologie discrète à celle de (1) en faisant jouer le rôle des singletons aux boules ouvertes.

[deltab]

Bonjour

On veut montrer que les intervalles ouverts forment une base d'ouverts de R.

Si R est muni sa topologie usuelle, il suffit juste de rappeler qu'un intervalle ouvert borné ]a,b[ est lui-même une boule ouverte (de centre et de rayon et qu'on peut prendre uniquement les intervalles ouverts bornés.

Remarque: C"est un résultat valable dans un espace métrique (E,d) au sens les boules ouverte forment une base de (E,d) (de démonstration plus ou moins facile si l'on se rappelle la caractérisation d'un ouvert de (E,d)).

[deltab]

Bonjour

On veut montrer que les intervalles ouverts forment une base d'ouverts de R.

Dans la démonstration que tu as ébauchée, tu as parlé de boule B(x,r), tu as donc muni (inconsciemment peut-être) R d'une structure d'espace métrique.

Si R est muni de sa topologie usuelle, il suffit juste de se rappeler qu'un intervalle ouvert borné ]a,b[ est lui-même une boule ouverte (de centre et de rayon ) et qu'on peut prendre uniquement les intervalles ouverts bornés.

Remarque: C"est un résultat valable dans un espace métrique (E,d) au sens les boules ouvertes forment une base de (E,d) (de démonstration plus ou moins facile si l'on se rappelle la caractérisation d'un ouvert de (E,d)).

[deltab]

Bonjour.

Autre remarque:
1) On peut se restreindre pour le cas d'un espace métrique (E,d) aux boules de rayon r < M et en particulier pour M=1
2) On comprend alors aisément que les singletons forment un base pour la topologie discrète car celle-ci est métrisable, on définit d par si et si , pour , on a alors