Toute sphère est un fermé
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alm
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par alm » 22 Oct 2013, 01:22
j'ai oublié d'ajouter que
mais elle necessite d'avoir prouvé que
est un fermé, dont la preuve n'est pas plus simple que celle de "la sphére est fermée"
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Elizabet
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par Elizabet » 04 Nov 2013, 21:14
adrien69 a écrit:Donc pour toi toute suite décroissante d'ouverts est un fermé...........
Pardon, tout fermé est une suite décroissante d'ouverts. D'autre part :
, car si :
et si on pose:
d'où le complémentaire de
est ouvert. Idem donc pour la sphère...
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Ben314
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par Ben314 » 04 Nov 2013, 23:01
Attention au contexte dans lequel l'exercice est posé (espace métrique quelconque ou bien R^n muni de la distance euclidienne)
Dans le cas général (espaces métriques), ça :
arnaud32 a écrit:je suppose que ce que tu vux ecrire c'est:
c'est faux :
Par exemple si d est la distance discrète [d(x,y)=0 si x=y et =1 sinon] sur l'espace E et r=1 alors
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Par contre, ce qui est (évidement) vrai dans tout les cas, c'est que
où
qui est en général distinct de
(mais c'est effectivement la même chose dans le cas de la métrique euclidienne sur R^n)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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deltab
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par deltab » 05 Nov 2013, 21:14
Bonsoir.
La difficulté provient du fait que la propriété à montrer est plus une notion topologique qu'une notion métrique. Dans un espace métrique, une sphère peut être vide alors que dans un e.v.n. elle ne l'est jamais.
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