Toute sphère est un fermé

[Mequire]

Bonjour je voulais bien savoir si cela suffit pour montrer qu'une sphère est un fermé:

Enoncé: Soit s(a,r) ={x€E | d(x,a) = r) a€E, r€ R*+. Un fermé. Démontrer!
En effet,
S(a,r) = BF(a,r) union complémentaire B (a,r)
Et est donc une intersection de fermées ce qui est alors un fermé.

[adrien69]

BF=Boule fermée ?
Si oui alors c'est faux.

[adrien69]

Typiquement les exos du type ensembliste c'est ceux où on a le plus besoin de LaTeX. Si tu pouvais faire un petit effort ?
Parce que "union complémentaire" c'est pas bien clair en plus.

[Mequire]

BF = boule fermé, mais je l'ai noté ici comme adhérence de b, don le b avec un trait dessus
Avec union complémentaire: n C(b(a,r)) don union avec le complémentaire de b(a,r)

[arnaud32]

le plus simple c'est peut etre de regarder la fonction : definie par
qui est continue

[arnaud32]

je suppose que ce que tu vux ecrire c'est:

[adrien69]

Ce qui rend donc la chose vraie en fait. Mais illisible au premier abord.
En fait non, il avait marqué "union" en plus. C'est pour ça que j'ai dit que c'était faux. La sphère ne peut pas être réunion de la boule et d'un autre truc.

[Elizabet]

Enoncé en LaTeX : Soit . Un fermé. Démontrer !

On peut aussi démontrer qu'elle se caractérise comme l'intersection d'une suite décroissante d'ouverts...

[adrien69]

Donc pour toi toute suite décroissante d'ouverts est un fermé...........

[arnaud32]

Enoncé en LaTeX : Soit . Un fermé. Démontrer !

On peut aussi démontrer qu'elle se caractérise comme l'intersection d'une suite décroissante d'ouverts...

une suite decroissante d'ouvert n'est pas forcement fermee ( ni ouverte d'ailleurs)
ca c'est faux il suffit de prendre une pour tout n

et meme avec une decroissance stricte:

[adrien69]

Par contre on peut montrer qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante d'ouverts dont l'intersection soit ouverte. Mais ça c'est un autre problème et ça dépasse (de très loin) ce dont on est en train de parler.

[MMu]

Il me semble que le plus simple est de montrer que le complémentaire d'une sphère est un ouvert .. :zen:

[alm]

Salut,
l'idée donnée par arnaud32 est, à mon avis, la meilleure à condition que la continuité soit traités par le concerné.
On peut le faire aussi avec les suites : méthode sequentielle mais cette méhode demande aussi d'avoir traité les suites et leurs applications.
Finalement on peut utiliser directement la défintion d'un fermé (suggérée par MMu ) : le complémentaire est ouvert : Soit un élément qui n'est pas sur la sphère en question, donc: alors la boule ouverte avec ne rencontre pas la sphère car sion il aurait existé un tel que :
[CENTER][/CENTER] et:
[CENTER].[/CENTER]
Or , compte tenu de et les inégalités triangulaires, on a :
[CENTER] [/CENTER]
et se contredisent.

[jlb]

BF = boule fermé, mais je l'ai noté ici comme adhérence de b, don le b avec un trait dessus
Avec union complémentaire: n C(b(a,r)) don union avec le complémentaire de b(a,r)

Salut, attention l'adhérence de la boule ouverte n'est pas forcement la boule fermée.

[Mequire]

je suppose que ce que tu vux ecrire c'est:

Exacte! Ca suffit comme démonstaration?

[alm]

Exacte! Ca suffit comme démonstaration?

[CENTER][/CENTER]Ce résultat lui même nécéssite un démonstration.
Une fois démontré , le reste est évident (l'intersection de deux fermés est un fermé).

[arnaud32]

[CENTER][/CENTER]Ce résultat lui même nécéssite un démonstration.
Une fois démontré , le reste est évident (l'intersection de deux fermés est un fermé).

ssi et

[adrien69]

Le probleme c'est que l'adherence de la boule ouverte B(x,r) ce n'est pas necessairement {y|d(x,y)<=r}

Contre-exemple : tu prends un espace metrique avec 2 points au moins et discret : d(x,y)=1 si x et y sont differents, 0 sinon.

Soit x un point quelconque, B(x,1)={x}, donc l'adherence de B(x,1) c'est {x} car c'est deja un ferme.

Tandis que la boule fermee de rayon 1, c'est l'espace tout entier...

Par contre si on a un EVN et plus un espace metrique alors c'est bon.

Desole pour les accents, clavier anglais.


ps. Ca montre d'ailleurs que meme la formule pour la sphere est fausse, parce que la sphere c'est l'espace moins le point x, et l'intersection des deux machins ca donnerait juste x.

[arnaud32]

Le probleme c'est que l'adherence de la boule ouverte B(x,r) ce n'est pas necessairement {y|d(x,y)<=r}

Contre-exemple : tu prends un espace metrique avec 2 points au moins et discret : d(x,y)=1 si x et y sont differents, 0 sinon.

Soit x un point quelconque, B(x,1)={x}, donc l'adherence de B(x,1) c'est {x} car c'est deja un ferme.

Tandis que la boule fermee de rayon 1, c'est l'espace tout entier...

Par contre si on a un EVN et plus un espace metrique alors c'est bon.

Desole pour les accents, clavier anglais.


ps. Ca montre d'ailleurs que meme la formule pour la sphere est fausse, parce que la sphere c'est l'espace moins le point x, et l'intersection des deux machins ca donnerait juste x.

tu as raison :

[alm]

ssi et

Même dans le cas des espaces vectoriels normés où l'adhérence de la boule ouverte est égale à la boule fermé , ce que tu as cité ci-dessus , arnaud32, est la déduction.
Quand j'avais dit : " cela necessite une demo " , je faisais allusion à : l'adhérence de la boule ouverte est égale à la boule fermée de même centre et même rayon.


Je ne sais pas le cadre dans lequel la question est posée mais si c'est la cadre des espaces métriques, la preuve directe, celle utilisant la continuité et la méthode sequetielle sont valables.