Borne supérieure

[Hannaut]

Salut

Pourquoi (l'ordre est l’inclusion dans P(E)), Sup(X,Y) = X u Y ?? avec X,Y éléments de P(E)
J'ai la définition de la borne sup mais je n'arrive pas à faire le lien ici

[quartzmagique]

Bonjour Hannaut

sauf erreur le lien est que
par exemple la relation d'ordre étant donnée par l'inclusion
forcement X u Y deviens la borne supérieure de l'ensemble {Ø,{X},{Y},{X,Y}}

[Hannaut]

Bonjour Hannaut

sauf erreur le lien est que
par exemple la relation d'ordre étant donnée par l'inclusion
forcement X u Y deviens la borne supérieure de l'ensemble {Ø,{X},{Y},{X,Y}}

Merci de ta réponse, mais comment as tu trouvé {Ø,{X},{Y},{X,Y}} :we:

[quartzmagique]

bonjour Hannaut
j'ai rien trouvé c'est toi qui en a parlé
ordre : inclusion

[Hannaut]

bonjour Hannaut
j'ai rien trouvé c'est toi qui en a parlé
ordre : inclusion

En fait on a un ensemble E = {X,Y}, et tu as donné P(E) = {Ø,{X},{Y},{X,Y}}
Si X et Y sont des ensembles, pourquoi mettre des accolades avec P(E) ?

[quartzmagique]

beh oui erreur effectivement
{Ø,X,Y,XuY}
mes excuses

[Hannaut]

beh oui erreur effectivement
{Ø,X,Y,XuY}
mes excuses

Ah merci là j'ai compris :we: , et du coup pour Inf(X,Y) c'est le même raisonnement ?

[quartzmagique]

là la borne inferieure serai Ø vu que l'inclusion est la relation d'ordre
dans l'ensemble{Ø,X,Y,XuY} non?
j'espère ne pas dire trop de conneries mes excuses Hannaut si je suis un peu à la masse ... depuis des années en fait

[vincentroumezy]

Ouais, Inf(X,Y)=XinterY sauf erreur.
Car X inter Y est contenu dans X et Y, et si on prend quelqu'un inclus dans X et Y, alors il sera inclus dans X inter Y

[quartzmagique]

oui mais Ø sera toujours inclus là dedans non? sauf erreur non?

[Hannaut]

Je suis perdu... :dodo:

[quartzmagique]

pourquoi?
Ø il appartiens à tout ensemble des parties d'un ensemble il faut pas oublier cet "element" de p(E)

[Doraki]

Tu écris la définition de borne sup :

Sup({A,B}) est un ensemble qui doit vérifier :
A est inclus dans Sup({A,B})
B est inclus dans Sup({A,B})
Pour tout C, si A et B sont inclus dans C alors Sup({A,B}) est inclus dans C.

Et tu vérifies que A union B convient :

A est inclus dans A union B.
B est inclus dans A union B.
Pour tout C, si A et B sont inclus dans C alors A union B est inclus dans C :

Soit C une partie de E telle que A et B sont inclus dans C.
Soit x dans A union B. Alors soit x est dans A, soit x est dans B.
Si x est dans A, alors comme A est inclus dans C, x est donc dans C.
Si x est dans B, alors comme B est inclus dans C, x est donc dans C.
Donc A union B est bien inclus dans C.

Ensuite tu fais la même chose avec la borne inf et A inter B.

[Hannaut]

Tu écris la définition de borne sup :

Sup({A,B}) est un ensemble qui doit vérifier :
A est inclus dans Sup({A,B})
B est inclus dans Sup({A,B})
Pour tout C, si A et B sont inclus dans C alors Sup({A,B}) est inclus dans C.

Et tu vérifies que A union B convient :

A est inclus dans A union B.
B est inclus dans A union B.
Pour tout C, si A et B sont inclus dans C alors A union B est inclus dans C :

Soit C une partie de E telle que A et B sont inclus dans C.
Soit x dans A union B. Alors soit x est dans A, soit x est dans B.
Si x est dans A, alors comme A est inclus dans C, x est donc dans C.
Si x est dans B, alors comme B est inclus dans C, x est donc dans C.
Donc A union B est bien inclus dans C.

Ensuite tu fais la même chose avec la borne inf et A inter B.

:id: Merci Doraki, comment ne pas être si clair, les deux premières propriétés veut dire que Sup({A,B}) est un majorant de {A,B} et la dernière que c'est le plus petit des majorants

Merci à vous trois :we: