Prouver par récurrence un < un+1

[vince8591]

Bonjour à tous,
J'envisage une reprise d'études (en D.U.T. Réseaux et Télécoms) je me remet donc aux maths.
Là je cale sur un exo :

On a
On considère la suite qui obéit à la relation
Avec
Et on sait que
On me demande de prouver par récurrence que :

J'ai déjà démontré que était croissante sur l'intervalle [0 ; 1/2[ .
J'arrive donc à la première étape (en remplaçant par (idem pour f (x)

Cependant j'ai beau cherché à prouver je n'y arrive pas même en faisant la différence.

J'éspère que j'ai été clair, je vous remercie par avance de m'avoir lu :lol3:

[Nightmare]

Salut,

f est croissante, donc si u(0) < u(1) alors f(u(0)) < f(u(1)) c'est à dire u(1) < u(2). Donc de même f(u(1)) < f(u(2)) soit u(2) < u(3) etc.

Essaye de généraliser par récurrence.

[vince8591]

J'ai donc 0.3< f(u0) < f(u1)

Qui correspond à un-1< un < un+1 ... Mais là je suis un peu paumé dans le sens où je ne vois pas trop où aller ni comment faire pour le fameux raisonnement par récurrence.

[Nightmare]

L'hypothèse de récurrence est : u(n) < u(n+1)

Mais si u(n) < u(n+1) alors comme f est croissante f(u(n)) < f(u(n+1)), c'est à dire u(n+1) < u(n+2).

C'est f qui nous sert de passage du rang n au rang n+1.

[vince8591]

Je ne pensais pas que simplement ça pouvait le justifier, je n'arrive pas trop à me le représenter en fait.

En tout cas merci beaucoup pour ton aide.

EDIT : en gros il faut "imaginer" que un+1

[Ericovitchi]

Pour info, un moyen de visualiser l'évolution de la suite est de dessiner la fonction f(x) mais également la droite y=x qui sert à rabattre les points de laxe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer à calculer les valeurs de U. On a comme ça l'impression de rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite et à chaque verticale bleue tu as un terme de la suite.


Donc ici on voit bien tout de suite graphiquement que la suite est croissante et tend vers 0.44 mais évidemment après il faut le démontrer.