Prouver la fonction dérivée d'une fonction exponentielle via raisonnement récurrence

[Lilly45]

Bonjour à toutes et à tous !
Je me retrouve confrontée à un problème auquel je n'arrive pas à trouver d'esquisse de solution.
Notre prof nous a donné un DM pour ces vacances de la Toussaint assez difficile dans la mesure où on se retrouve confrontés, seuls, à des choses qu'on a pas vraiment faites en cours.
On vient à peine de commencer le chapitre sur les fonctions exponentielles, on a brièvement vu le raisonnement par récurrence (pour démontrer qu'une suite est croissante, majorée, ce genre de choses) et là il nous demande, via un raisonnement par récurrence, de démontrer que la fonction dérivée de
x =>e^nx
est
x => ne^nx

sur tout N pour tout n.
S'il vous plaît, donnez moi quelques pistes.
Cordialement! :lol3:

(si il y a pb d'écriture n'hésitez pas à me le dire, si vous avez un doute, et je suis en Terminale S)

[keofran]

Raisonnement par récurrence :

1 - Initialisation : détermine si la propriété est vraie pour n=0

2- Hérédité : Tu supposes que la propriété est vraie pour un n fixé et tu démontres que la propriété est vraie pour n+1.

A toi de jouer.

[Lilly45]

Raisonnement par récurrence :

1 - Initialisation : détermine si la propriété est vraie pour n=0

2- Hérédité : Tu supposes que la propriété est vraie pour un n fixé et tu démontres que la propriété est vraie pour n+1.

A toi de jouer.

Merci ça je l'avais compris, mais appliquer le raisonnement par récurrence dans ce cas là me bloque.
Je dois juste utiliser la formule générale de la dérivée d'exponentielle de x pour mon raisonnement par récurrence ?
Genre mon initialisation au rang n=0 ici je l'utilise avec la dérivée d'exponentielle de x ?
Et en quoi ça démontre que c'est bien elle la dérivée ?

[keofran]

Pour n=0 regarde ce que ça donne comme fonction.

[Lilly45]

Pour n=0 regarde ce que ça donne comme fonction.

ça donne une fonction constante non ?

[keofran]

Et pour l'hérédité, tu dois dériver e^(n+1)x en utilisant l'hypothèse de récurrence.

La question à se poser est comment faire apparaître e^nx dans e^(n+1)x ?

[keofran]

ça donne une fonction constante non ?

Oui, donc ?

[Lilly45]

Et pour l'hérédité, tu doit dériver e^(n+1)x en utilisant l'hypothèse de récurrence.

La question à se poser est comment faire apparaître e^nx dans e^(n+1)x ?

ok ok merci pour la piste,
on doit reculer d'un rang ?

[Lilly45]

Une fonction constante sa dérivée vaut 0

[keofran]

Une fonction constante sa dérivée vaut 0

Et x => ne^nx pour n=0 vaut....

donc la propriété est vraie au rang 0.

Pour la suite, utilise la piste donnée et reviens nous donner ton raisonnement.

[Lilly45]

J'ai compris, merci, je vais le faire vite fait ce problème.
Bonne journée.

[keofran]

J'ai compris, merci, je vais le faire vite fait ce problème.
Bonne journée.

Surtout bien fait !