Prouver une inéquation par récurrence

[Anonyme]

Bonjour,

J'étudie la suite suivante:
u0=1
un+1 = (un/2) + (1/un)


je dois montrer, en utilisant le principe de récurrence, que, pour tout n>1

racine de 2 < un+1 < un < 3/2

Voici le début de ma démonstration:

Soit p(n) : " racine de 2 < un < 3/2 "

1) P(0) est vraie: en effet on sait que u0=1 et que racine de 2 < 1 < 3/2

2) P(n) est héréditaire. En effet n appartient à N et on suppose que P(n) est vraie.

On suppose donc que racine de 2 < un < 3/2

et là je bloque... il faut arriver à racine de 2 < un+1 < un < 3/2

Que faire?

Merci!

[khivapia]

Bonjour !

il suffit de montrer que la fonction f définie par f(x) = x/2+1/x est telle que d'une part et d'autre part que f(x)>x sur cet intervalle !

Bonne soirée.

[Anonyme]

Bonjour,



tu va demontrer deux inegalites:

un+1
Premiere inegalite :

tu utilises un+1 - un tu demontres que c'est negatif

Deuxieme inegalite :
tu encadres un/2 et 1/un et tu sommes
tu obtiens (racine de 2)/2 +3/2 < un+1 < 3/4 +1/(racine de 2)
or 2 < (racine de 2)/2 +3/2 et 3/4 +1/(racine de 2)<3

Et tu as ainsi demontrer que ta propriete est hereditaire

[Anonyme]

merci beaucoup de ton aide!!

quand tu dis
"tu obtiens (racine de 2)/2 +3/2 < un+1 < 3/4 +1/(racine de 2)"

ne serait ce pas plutot 2/3 au lieu de 3/2 ??

étant donné que l'on fait l'inverse de la fonction?

merci

Bonjour,



tu va demontrer deux inegalites:

un+1<un et racine de 2 < un+1 < 3/2

Premiere inegalite :

tu utilises un+1 - un tu demontres que c'est negatif

Deuxieme inegalite :
tu encadres un/2 et 1/un et tu sommes
tu obtiens (racine de 2)/2 +3/2 < un+1 < 3/4 +1/(racine de 2)
or 2 < (racine de 2)/2 +3/2 et 3/4 +1/(racine de 2)<3

Et tu as ainsi demontrer que ta propriete est hereditaire

[Anonyme]

Oui tu as raison, je me suis trompe :)