[licence] Topologie

[Anonyme]

Yves De Cornulier wrote:
[color=green]
> > extrémité...). (Pour la petite histoire les ordres denses sans
> > extrémités ont une propriété particulière (donc le nom m'échappe) :
> > si on en prend deux et qu'il existe une bijection entre eux, alors il
> > existe un isomorphisme entre eux (la structure préservée étant l'ordre,
> > évidemment)).
>
> Euh, R et R privé de Q, c'est bien équipotent mais pas isomorphe!?[/color]

Par un argument du genre « l'ensemble des points de discontinuité d'une
fonction croissante de R dans R est discret » ? Ou alors je pipote ?

> La seule chose que je sais, c'est que ce que tu dis est vrai pour des
> ensembles dénombrables.

Voui, la théorie des ordres denses sans extrémités est
aleph_0-catégorique, mais visiblement pas catégorique en cardinalité
indénombrable (ou en tout cas en cardinal kappa >= 2^{aleph_0}, mais
bon...).

Ce qui est vrai, en revanche, c'est que si l'on prend deux modèles de
cardinalités quelconques, ils sont élémentairement équivalents : tout
énoncé du langage des ordres qui est vrai dans l'un est vrai dans
l'autre. C'est une conséquence de la catégoricité en aleph_0.

--
La culture, la santé et les services sociaux, l'éducation, les services
et les marchés publics, la propriété intellectuelle, la sécurité
alimentaire : tout cela est visé, et bien d'autres choses encore. Pour
[l'OMC], le monde est effectivement une marchandise. -- Susan George.

[Anonyme]

Mehdi Tibouchi, dans le message (fr.education.entraide.maths:57028), a
écrit :[color=green]
>> Euh, R et R privé de Q, c'est bien équipotent mais pas isomorphe!?
>
> Par un argument du genre « l'ensemble des points de discontinuité d'une
> fonction croissante de R dans R est discret » ? Ou alors je pipote ?[/color]

Plus simplement, R est complet et pas R\Q (ce qui revient peut-etre
au meme, hein).

[Anonyme]

On Sat, 17 Jul 2004 01:15:27 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:
>Mehdi Tibouchi, dans le message (fr.education.entraide.maths:57028), a
>écrit :[color=green][color=darkred]
>>> Euh, R et R privé de Q, c'est bien équipotent mais pas isomorphe!?
>>
>> Par un argument du genre « l'ensemble des points de discontinuité d'une
>> fonction croissante de R dans R est discret » ? Ou alors je pipote ?[/color]
>
>Plus simplement, R est complet et pas R\Q (ce qui revient peut-etre
>au meme, hein).[/color]

Et comment tu exprimes cela dans la théorie des ordres ? Tu n'as le
droit qu'au symbole « < » ...

--
Frédéric

[Anonyme]

On Fri, 16 Jul 2004 17:54:51 +0000 (UTC), Yves De Cornulier wrote:[color=green]
>> extrémité...). (Pour la petite histoire les ordres denses sans
>> extrémités ont une propriété particulière (donc le nom m'échappe) :
>> si on en prend deux et qu'il existe une bijection entre eux, alors il
>> existe un isomorphisme entre eux (la structure préservée étant l'ordre,
>> évidemment)).
>
>Euh, R et R privé de Q, c'est bien équipotent mais pas isomorphe!?[/color]

Argh. Je me suis embrouillé : je me souviens que « kappa-catégorique
implique catégorique pour tout kappa » mais j'ai pas fait attention à ce
qu'il fallait que kappa soit indénombrable pour que ce soit vrai.
Mes plus plates excuses.

>La seule chose que je sais, c'est que ce que tu dis est vrai pour des
>ensembles dénombrables.

Retrospectivement, c'est la seule chose du lot que je sais prouver

--
Frédéric

[Anonyme]

On Sat, 17 Jul 2004 02:24:46 +0200, Mehdi Tibouchi wrote:
>Yves De Cornulier wrote:
>[color=green][color=darkred]
>> > extrémité...). (Pour la petite histoire les ordres denses sans
>> > extrémités ont une propriété particulière (donc le nom m'échappe) :
>> > si on en prend deux et qu'il existe une bijection entre eux, alors il
>> > existe un isomorphisme entre eux (la structure préservée étant l'ordre,
>> > évidemment)).
>>
>> Euh, R et R privé de Q, c'est bien équipotent mais pas isomorphe!?[/color]
>
>Par un argument du genre « l'ensemble des points de discontinuité d'une
>fonction croissante de R dans R est discret » ? Ou alors je pipote ?[/color]

Il est clair qu'un isomorphisme entre R et R\Q ne peut pas avoir de
points de discontinuité, alors je ne comprends pas bien ta remarque...

En fait, pour une solution, cf. la page d'Elizabeth Bouscaren qui
a donné ça en question d'examen en MMFAI 1 cette année... ça ne me
rajeunit pas.

>Voui, la théorie des ordres denses sans extrémités est
>aleph_0-catégorique, mais visiblement pas catégorique en cardinalité
>indénombrable (ou en tout cas en cardinal kappa >= 2^{aleph_0}, mais
>bon...).
>
>Ce qui est vrai, en revanche, c'est que si l'on prend deux modèles de
>cardinalités quelconques, ils sont élémentairement équivalents : tout
>énoncé du langage des ordres qui est vrai dans l'un est vrai dans
>l'autre. C'est une conséquence de la catégoricité en aleph_0.

C'est avec ça que j'ai du confondre...

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:57030), a écrit :
> Et comment tu exprimes cela dans la théorie des ordres ? Tu n'as le
> droit qu'au symbole « < » ...

Toute partie non vide et bornée admet une borne supérieure, non ?

--
Xavier, qu'à isomorphisme près, R est le seul ordre total, dense, sans
extrémités, complet et séparable (il existe une partie dénombrable
dense).

[Anonyme]

On Sat, 17 Jul 2004 06:25:22 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:
>Frederic, dans le message (fr.education.entraide.maths:57030), a écrit :[color=green]
>> Et comment tu exprimes cela dans la théorie des ordres ? Tu n'as le
>> droit qu'au symbole «
>Toute partie non vide et bornée admet une borne supérieure, non ?

Argh. Je vais direct me recoucher, je pensais que tu avais dit
« clos » (corps réel clos) et pas complet. Ouin, j'dis n'importe quoi
en ce moment. Bon promis, je réfléchis avant de poster la fois
prochaine.

--
Frédéric

[Anonyme]

> Par un argument du genre « l'ensemble des points de discontinuité d'une
> fonction croissante de R dans R est discret » ? Ou alors je pipote ?

Comme a dit Xavier, c'est un argument de complétude. Ou bien de connexité.
Par contre, tout partie dénombrable de R est ensemble de discontinuité
d'une fonction croissante de R dans R, donc je ne comprends pas bien ta
remarque.

--
Yves

[Anonyme]

Yves De Cornulier wrote:

> Par contre, tout partie dénombrable de R est ensemble de discontinuité
> d'une fonction croissante de R dans R, donc je ne comprends pas bien ta
> remarque.

Rah, c'est vrai, décidemment j'ai du mal à m'y faire. Bon, ben il n'y a
rien à comprendre, j'ai pipoté.

--
La culture, la santé et les services sociaux, l'éducation, les services
et les marchés publics, la propriété intellectuelle, la sécurité
alimentaire : tout cela est visé, et bien d'autres choses encore. Pour
[l'OMC], le monde est effectivement une marchandise. -- Susan George.

[Anonyme]

Mehdi Tibouchi wrote:

> Rah, c'est vrai, décidemment j'ai du mal à m'y faire. Bon, ben il n'y a
> rien à comprendre, j'ai pipoté.

Oui enfin, il est quand même vrai que toute fonction croissante est
continue en au moins un point (et en fait presque partout), hein ? Ça
suffit pour conclure, mais du coup c'est sûrement moins simple qu'un
argument de complétude.

--
And now 'twas like all instruments,
Now like a lonely flute;
And now it is an angel's song,
That makes the Heavens be mute. STC, Rime, 363 sqq.

[Anonyme]

> Oui enfin, il est quand même vrai que toute fonction croissante est
> continue en au moins un point (et en fait presque partout), hein ? Ça
> suffit pour conclure, mais du coup c'est sûrement moins simple qu'un
> argument de complétude.

Oui, elle est continue sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable. Et
c'est en fait très facile: on peut supposer qu'elle est bornée (quitte à
composer par Arctan), et on remarque que la famille (f(x+)-f(x-)) est
sommable, donc à support dénombrable; et son support est exactement
l'ensemble des points de discontinuité.

--
Yves