Ce n'est pas une question, juste un truc mnémotechnique
que je vous livre (gratuitement) :
Un ouvert, un fermé, un compact, un connexe de l'espace
entier le sont encore pour une sous-partie quelconque
Un ouvert d'un ouvert est un ouvert de l'espace entier
Un fermé d'un fermé est un fermé de l'espace entier
Un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier
Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
[Licence] Topologie
21 messages
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Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:34
> Un ouvert d'un ouvert est un ouvert de l'espace entier
>
> Un fermé d'un fermé est un fermé de l'espace entier
>
> Un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier
>
> Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
>
Tout ça se résume en une phrase: la topologie induite par la topologie
induite est la topologie induite (sic le bouquin de Georges Skandalis).
>
> Un fermé d'un fermé est un fermé de l'espace entier
>
> Un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier
>
> Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
>
Tout ça se résume en une phrase: la topologie induite par la topologie
induite est la topologie induite (sic le bouquin de Georges Skandalis).
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:34
> Un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier
Boarf. La compacité, c'est intrinsèque, non? Ca ne dépend pas de l'espace
ambiant.
> Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
Idem. Je ne vois pas ce que tu penses dire.
--
Maxi
Boarf. La compacité, c'est intrinsèque, non? Ca ne dépend pas de l'espace
ambiant.
> Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
Idem. Je ne vois pas ce que tu penses dire.
--
Maxi
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:34
"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bu0b8c$c6491$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Ce n'est pas une question, juste un truc mnémotechnique
> que je vous livre (gratuitement) :
>
> Un ouvert, un fermé, un compact, un connexe de l'espace
> entier le sont encore pour une sous-partie quelconque
>
> Un ouvert d'un ouvert est un ouvert de l'espace entier
>
> Un fermé d'un fermé est un fermé de l'espace entier
>
> Un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier
>
> Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
Je ne suis pas vraiment à l'aise avec la topologie, mais je ne saisis pas
bien l'aspect mnémotehcnique...
news:bu0b8c$c6491$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Ce n'est pas une question, juste un truc mnémotechnique
> que je vous livre (gratuitement) :
>
> Un ouvert, un fermé, un compact, un connexe de l'espace
> entier le sont encore pour une sous-partie quelconque
>
> Un ouvert d'un ouvert est un ouvert de l'espace entier
>
> Un fermé d'un fermé est un fermé de l'espace entier
>
> Un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier
>
> Un connexe d'une partie quelconque est un connexe de l'espace entier
Je ne suis pas vraiment à l'aise avec la topologie, mais je ne saisis pas
bien l'aspect mnémotehcnique...
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:35
Maxi a écrit
> Boarf. La compacité, c'est intrinsèque, non?
> Ca ne dépend pas de l'espace ambiant.
Je dis la même chose en termes mathématiques.
En rassemblant la première et la 4ème affirmation
ça donne :
Un compact de l'espace entier l'est encore pour une
partie quelconque contenant le compact et un compact
d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier.
Comment décrire autrement l' "intrinsèquité" de la compacité ?
Idem pour la connexité
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
> Boarf. La compacité, c'est intrinsèque, non?
> Ca ne dépend pas de l'espace ambiant.
Je dis la même chose en termes mathématiques.
En rassemblant la première et la 4ème affirmation
ça donne :
Un compact de l'espace entier l'est encore pour une
partie quelconque contenant le compact et un compact
d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier.
Comment décrire autrement l' "intrinsèquité" de la compacité ?
Idem pour la connexité
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:35
> Un compact de l'espace entier l'est encore pour une
> partie quelconque contenant le compact et un compact
> d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier.
> Comment décrire autrement l' "intrinsèquité" de la compacité ?
Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace métrique (ou même topologique)
est compact... Et c'est tout.
Quand on parle d'un "compact dans l'espace entier", c'est qu'on l'a muni de
la topo induite.
Alors qu'un ouvert de l'espace, il l'est par rapport à l'espace. Si tu le
prends tout seul, il est ouvert dans lui-même, mais aussi fermé, alors qu'il
n'est pas forcément fermé dans l'espace ambiant.
--
Maxi
> partie quelconque contenant le compact et un compact
> d'une partie quelconque est un compact de l'espace entier.
> Comment décrire autrement l' "intrinsèquité" de la compacité ?
Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace métrique (ou même topologique)
est compact... Et c'est tout.
Quand on parle d'un "compact dans l'espace entier", c'est qu'on l'a muni de
la topo induite.
Alors qu'un ouvert de l'espace, il l'est par rapport à l'espace. Si tu le
prends tout seul, il est ouvert dans lui-même, mais aussi fermé, alors qu'il
n'est pas forcément fermé dans l'espace ambiant.
--
Maxi
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:35
>
>Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace m+AOk-trique (ou m+AOo-me topologique)
>est compact... Et c'est tout.
Voici comment je comprends cette phrase : tout espace m+AOk-trique (voire
topologique) est compact... BOF
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:36
Maxi a écrit
> Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace métrique (ou même topologique)
> est compact... Et c'est tout.
Je reviens à la charge sur ce sujet. Tu as certainement raison car je ne
suis pas familier avec ces notions, mais je ne saisis pas ce que tu veux
dire.
Ma proposition était :
Un compact de l'espace entier l'est encore pour toute partie le contenant et
réciproquement un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace
entier.
Par exemple :
Soit K un compact de R (donc une partie fermée bornée de R). Alors K est un
compact de toute partie P de R contenant K. Réciproquement, si K est un
compact d'une partie P quelconque de R alors c'est un compact de R. Par
exemple K = [1,2] u {3} est un compact de R mais aussi de P = ]0, 3]
Ce qui est remarquable c'est que les ouverts de P et de R ne sont pas les
mêmes et, bien que la définition des parties compactes soient liées à celle
des ouverts, les compacts sont malgré tout les mêmes. N'est-ce pas cela qui
fait dire que la compacité est une propriété intrinsèque d'une partie de R ?
> Quand on parle d'un "compact dans l'espace entier", c'est qu'on l'a muni
de
> la topo induite.
N'est-ce pas en général le cas ? Je veux dire les compacts ne sont-ils pas
en général des parties d'un espace plus grand ?
> Alors qu'un ouvert de l'espace, il l'est par rapport à l'espace. Si tu le
> prends tout seul, il est ouvert dans lui-même, mais aussi fermé, alors
qu'il
> n'est pas forcément fermé dans l'espace ambiant.
Oui. Donc les propriétés "ouvert" et "fermé" ne peuvent pas être qualifiées
d'intrinsèques.
Pierre
> Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace métrique (ou même topologique)
> est compact... Et c'est tout.
Je reviens à la charge sur ce sujet. Tu as certainement raison car je ne
suis pas familier avec ces notions, mais je ne saisis pas ce que tu veux
dire.
Ma proposition était :
Un compact de l'espace entier l'est encore pour toute partie le contenant et
réciproquement un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace
entier.
Par exemple :
Soit K un compact de R (donc une partie fermée bornée de R). Alors K est un
compact de toute partie P de R contenant K. Réciproquement, si K est un
compact d'une partie P quelconque de R alors c'est un compact de R. Par
exemple K = [1,2] u {3} est un compact de R mais aussi de P = ]0, 3]
Ce qui est remarquable c'est que les ouverts de P et de R ne sont pas les
mêmes et, bien que la définition des parties compactes soient liées à celle
des ouverts, les compacts sont malgré tout les mêmes. N'est-ce pas cela qui
fait dire que la compacité est une propriété intrinsèque d'une partie de R ?
> Quand on parle d'un "compact dans l'espace entier", c'est qu'on l'a muni
de
> la topo induite.
N'est-ce pas en général le cas ? Je veux dire les compacts ne sont-ils pas
en général des parties d'un espace plus grand ?
> Alors qu'un ouvert de l'espace, il l'est par rapport à l'espace. Si tu le
> prends tout seul, il est ouvert dans lui-même, mais aussi fermé, alors
qu'il
> n'est pas forcément fermé dans l'espace ambiant.
Oui. Donc les propriétés "ouvert" et "fermé" ne peuvent pas être qualifiées
d'intrinsèques.
Pierre
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:36
> Ce qui est remarquable c'est que les ouverts de P et de R ne sont pas les
> mêmes et, bien que la définition des parties compactes soient liées à
celle
> des ouverts, les compacts sont malgré tout les mêmes.
La définition de compact est simplement liée aux ouverts du compact
lui-même. La compacité n'est pas une propriété relative à l'espace ambiant :
on dit K est compact et pas K est un compact de R (ou alors on veut
simplement préciser la topologie sur K : c'est celle induite par celle de
R).
> N'est-ce pas en général le cas ? Je veux dire les compacts ne sont-ils pas
> en général des parties d'un espace plus grand ?
Il n'y a pas de raison, puisque rien dans la définition de compact ne fait
intervenir un hypothétique espace ambiant (contrairement à la définition
d'ouvert, par exemple).
--
Jérôme
> mêmes et, bien que la définition des parties compactes soient liées à
celle
> des ouverts, les compacts sont malgré tout les mêmes.
La définition de compact est simplement liée aux ouverts du compact
lui-même. La compacité n'est pas une propriété relative à l'espace ambiant :
on dit K est compact et pas K est un compact de R (ou alors on veut
simplement préciser la topologie sur K : c'est celle induite par celle de
R).
> N'est-ce pas en général le cas ? Je veux dire les compacts ne sont-ils pas
> en général des parties d'un espace plus grand ?
Il n'y a pas de raison, puisque rien dans la définition de compact ne fait
intervenir un hypothétique espace ambiant (contrairement à la définition
d'ouvert, par exemple).
--
Jérôme
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:36
Pierre Capdevila a écrit :
>
> Maxi a écrit[color=green]
> > Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace métrique (ou même topologique)
> > est compact... Et c'est tout.[/color]
> Ma proposition était :
> Un compact de l'espace entier l'est encore pour toute partie le contenant et
> réciproquement un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace
> entier.
A priori on parle d'espace compact, et non de partie compact. Ce
qui est étonnant -et que tu fais remarquer- c'est que, dans la
définition d'un espace compact, on parle de recouvrement ouvert : eh
bien si le compact baigne dans un espace plus grand dont il a hérité la
topologie induite; alors pour les ouverts de la définitions, on peut les
choisir soit comme étant des ouverts de l'espace compact (c'est la
définition exacte), ou des ouvert de cet espace plus grand (qui est
équivalente à la définition). Ceci provient du fait que les
ouverts du petit espace sont les traces du gros espace.
Hier j'avais voulu envoyer un post qui différencierait des propriétés
pour des parties, et des propriétés pour des espaces (càd pour la
topologie) mais je dois avouer que j'ai eu un peu de mal à clarifier les
choses rapidement et j'étais pressé
)
Mais si l'idée tente quelqu'un :
- Il y aurait des notions qui "parlent" de la partie qu'on considère vue
dans une topologie ambiante, comme la notion d'être ouvert, ou la notion
d'être borné (dans un métrique).
- D'autres notions parleraient de la topologie uniquement, sans
référence à aucun ensemble. Par exemple la compacité est une propriété
de la topologie.
J'avais cependant du mal à classer des notions comme la connexité
par arc (la connexité étant dans la 2e catégorie). 'fin bref, ma
superbe (:-)) réflexion a fait du surplace.
--
Nico, en espérant pas dire de conneries.
>
> Maxi a écrit[color=green]
> > Ce que je voulais dire, c'est qu'un espace métrique (ou même topologique)
> > est compact... Et c'est tout.[/color]
> Ma proposition était :
> Un compact de l'espace entier l'est encore pour toute partie le contenant et
> réciproquement un compact d'une partie quelconque est un compact de l'espace
> entier.
A priori on parle d'espace compact, et non de partie compact. Ce
qui est étonnant -et que tu fais remarquer- c'est que, dans la
définition d'un espace compact, on parle de recouvrement ouvert : eh
bien si le compact baigne dans un espace plus grand dont il a hérité la
topologie induite; alors pour les ouverts de la définitions, on peut les
choisir soit comme étant des ouverts de l'espace compact (c'est la
définition exacte), ou des ouvert de cet espace plus grand (qui est
équivalente à la définition). Ceci provient du fait que les
ouverts du petit espace sont les traces du gros espace.
Hier j'avais voulu envoyer un post qui différencierait des propriétés
pour des parties, et des propriétés pour des espaces (càd pour la
topologie) mais je dois avouer que j'ai eu un peu de mal à clarifier les
choses rapidement et j'étais pressé
)Mais si l'idée tente quelqu'un :
- Il y aurait des notions qui "parlent" de la partie qu'on considère vue
dans une topologie ambiante, comme la notion d'être ouvert, ou la notion
d'être borné (dans un métrique).
- D'autres notions parleraient de la topologie uniquement, sans
référence à aucun ensemble. Par exemple la compacité est une propriété
de la topologie.
J'avais cependant du mal à classer des notions comme la connexité
par arc (la connexité étant dans la 2e catégorie). 'fin bref, ma
superbe (:-)) réflexion a fait du surplace.
--
Nico, en espérant pas dire de conneries.
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:36
Nicolas Richard
> A priori on parle d'espace compact, et non de partie compact. Ce
> qui est étonnant -et que tu fais remarquer- c'est que, dans la
> définition d'un espace compact, on parle de recouvrement ouvert : eh
> bien si le compact baigne dans un espace plus grand dont il a hérité la
> topologie induite; alors pour les ouverts de la définitions, on peut les
> choisir soit comme étant des ouverts de l'espace compact (c'est la
> définition exacte), ou des ouvert de cet espace plus grand (qui est
> équivalente à la définition). Ceci provient du fait que les
> ouverts du petit espace sont les traces du gros espace.
Merci pour ta réponse, et merci aussi à Jérôme. Grâce à vous j'ai compris
d'où vient le malaise qui m'occupe depuis quelque temps. C'est que la
définition que j'ai eue des compacts n'est pas celle que tu donnes mais la
suivante :
P est une partie compacte (ou plus simplement un compact) d'un espace
topologique X si P ¹ Æ et si de tout recouvrement de P par des ouverts de X
on peut extraire un recouvrement fini.
Ensuite on a vu un théorème qui prouve que si P est un compact de X alors
c'est un compact de toute partie de X le contenant, en particulier P est
compact dans lui-même, ce qui fait dire que la compacité est une propriété
intrinsèque d'un espace topologique.
Maintenant je comprend mieux, il y a donc deux écoles
Pierre
> A priori on parle d'espace compact, et non de partie compact. Ce
> qui est étonnant -et que tu fais remarquer- c'est que, dans la
> définition d'un espace compact, on parle de recouvrement ouvert : eh
> bien si le compact baigne dans un espace plus grand dont il a hérité la
> topologie induite; alors pour les ouverts de la définitions, on peut les
> choisir soit comme étant des ouverts de l'espace compact (c'est la
> définition exacte), ou des ouvert de cet espace plus grand (qui est
> équivalente à la définition). Ceci provient du fait que les
> ouverts du petit espace sont les traces du gros espace.
Merci pour ta réponse, et merci aussi à Jérôme. Grâce à vous j'ai compris
d'où vient le malaise qui m'occupe depuis quelque temps. C'est que la
définition que j'ai eue des compacts n'est pas celle que tu donnes mais la
suivante :
P est une partie compacte (ou plus simplement un compact) d'un espace
topologique X si P ¹ Æ et si de tout recouvrement de P par des ouverts de X
on peut extraire un recouvrement fini.
Ensuite on a vu un théorème qui prouve que si P est un compact de X alors
c'est un compact de toute partie de X le contenant, en particulier P est
compact dans lui-même, ce qui fait dire que la compacité est une propriété
intrinsèque d'un espace topologique.
Maintenant je comprend mieux, il y a donc deux écoles
Pierre
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
P ¹ Æ
signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
Pierre Capdevila a écrit :
>
> P ¹ Æ
> signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
--
Nico.
>
> P ¹ Æ
> signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
--
Nico.
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
Le 20/01/2004 08:40, Pierre Capdevila a écrit :
> P ¹ Æ
> signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
Avec quel charset ? Ce serait sympa que ton logiciel l'indique.
[ suivi vers fr.usenet.8bits ]
> P ¹ Æ
> signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
Avec quel charset ? Ce serait sympa que ton logiciel l'indique.
[ suivi vers fr.usenet.8bits ]
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news:400D03EC.7F18D6AA@yahoo.fr...
> Pierre Capdevila a écrit :[color=green]
> >
> > P ¹ Æ
> > signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
>
> L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
> caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
>
> --
> Nico.[/color]
de news:400D03EC.7F18D6AA@yahoo.fr...
> Pierre Capdevila a écrit :[color=green]
> >
> > P ¹ Æ
> > signifie comme vous l'avez deviné "P différent de l'ensemble vide"
>
> L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
> caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
>
> --
> Nico.[/color]
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
Nicolas Richard a écrit
> L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
> caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
Absolument, l'ensemble vide n'est pas compact. Et les compacts de R^n sont
les fermés bornés non vides. C'est dans la définition qu'on m'a donnée. Ce
n'est pas juste ?
Pierre
> L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
> caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
Absolument, l'ensemble vide n'est pas compact. Et les compacts de R^n sont
les fermés bornés non vides. C'est dans la définition qu'on m'a donnée. Ce
n'est pas juste ?
Pierre
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:37
On Wed, 21 Jan 2004 07:00:26 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>Nicolas Richard a écrit[color=green]
>> L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
>> caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
>
>Absolument, l'ensemble vide n'est pas compact. Et les compacts de R^n sont
>les fermés bornés non vides. C'est dans la définition qu'on m'a donnée. Ce
>n'est pas juste ?[/color]
Tiens c'est étonnant, moi non plus je n'ai pas souvenir d'avoir
jamais eu à ajouter l'hypothèse « non vide ». M'enfin, il faut vivre
avec son temps... peut-être est-ce une subtile réforme Ferry
des mathématiques en France ? [Ou peut-être ma mémoire me joue des
vilains tours...]
--
Frédéric, gambaru'n desu.
>Nicolas Richard a écrit[color=green]
>> L'ensemble vide ne serait pas compact? C'est embêtant pour la
>> caractérisation des compacts de R^n : les fermés+bornés, non?
>
>Absolument, l'ensemble vide n'est pas compact. Et les compacts de R^n sont
>les fermés bornés non vides. C'est dans la définition qu'on m'a donnée. Ce
>n'est pas juste ?[/color]
Tiens c'est étonnant, moi non plus je n'ai pas souvenir d'avoir
jamais eu à ajouter l'hypothèse « non vide ». M'enfin, il faut vivre
avec son temps... peut-être est-ce une subtile réforme Ferry
des mathématiques en France ? [Ou peut-être ma mémoire me joue des
vilains tours...]
--
Frédéric, gambaru'n desu.
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:38
> Ma proposition était :
> Un compact de l'espace entier l'est encore pour toute partie le contenant
et
> réciproquement un compact d'une partie quelconque est un compact de
l'espace
> entier.
Je pense que le truc, c'est que quand tu dis "une partie compacte" car tu la
munis de la topologie induite, mais ça n'a pas d'intérêt que cette topologie
soit induite par une topologie sur un ensemble plus gros: elle est compacte,
ou pas.
N'est-ce pas cela qui
> fait dire que la compacité est une propriété intrinsèque d'une partie de R
?
Si. Et ça marche pas seulement pour R, mais pour n'importe quel espace topo.
[color=green]
> > Quand on parle d'un "compact dans l'espace entier", c'est qu'on l'a muni
> de
> > la topo induite.
>
> N'est-ce pas en général le cas ? Je veux dire les compacts ne sont-ils pas
> en général des parties d'un espace plus grand ?[/color]
Oh si bien sûr... Tu peux toujours prendre le produit de plein de copies de
lui-même!
--
Maxi
> Un compact de l'espace entier l'est encore pour toute partie le contenant
et
> réciproquement un compact d'une partie quelconque est un compact de
l'espace
> entier.
Je pense que le truc, c'est que quand tu dis "une partie compacte" car tu la
munis de la topologie induite, mais ça n'a pas d'intérêt que cette topologie
soit induite par une topologie sur un ensemble plus gros: elle est compacte,
ou pas.
N'est-ce pas cela qui
> fait dire que la compacité est une propriété intrinsèque d'une partie de R
?
Si. Et ça marche pas seulement pour R, mais pour n'importe quel espace topo.
[color=green]
> > Quand on parle d'un "compact dans l'espace entier", c'est qu'on l'a muni
> de
> > la topo induite.
>
> N'est-ce pas en général le cas ? Je veux dire les compacts ne sont-ils pas
> en général des parties d'un espace plus grand ?[/color]
Oh si bien sûr... Tu peux toujours prendre le produit de plein de copies de
lui-même!
--
Maxi
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:38
> Absolument, l'ensemble vide n'est pas compact. Et les compacts de R^n sont
> les fermés bornés non vides. C'est dans la définition qu'on m'a donnée. Ce
> n'est pas juste ?
Parfois on accepte l'ensemble vide et parfois non... Et ce n'est pas gênant,
ça ne coûte en général pas cher de voir le cas particulier de l'ensemble
vide dans un énoncé. Moi j'ai vu des compacts vides et dans l'ensemble ils
ne posent pas de problème (je veux dire: les théorèmes marchent souvent dans
ce cas-là).
--
Maxi
> les fermés bornés non vides. C'est dans la définition qu'on m'a donnée. Ce
> n'est pas juste ?
Parfois on accepte l'ensemble vide et parfois non... Et ce n'est pas gênant,
ça ne coûte en général pas cher de voir le cas particulier de l'ensemble
vide dans un énoncé. Moi j'ai vu des compacts vides et dans l'ensemble ils
ne posent pas de problème (je veux dire: les théorèmes marchent souvent dans
ce cas-là).
--
Maxi
Re: [Licence] Topologie
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:39
Maxi a écrit:
> Parfois on accepte l'ensemble vide et parfois non... Et ce n'est pas gênant,
> ça ne coûte en général pas cher de voir le cas particulier de l'ensemble
> vide dans un énoncé. Moi j'ai vu des compacts vides et dans l'ensemble ils
> ne posent pas de problème (je veux dire: les théorèmes marchent souvent dans
> ce cas-là).
En général, je suis toujours très frustré quand on restreint le
domaine d'une définition. J'ai toujours vu la définition de la
compacité sans exception sur le vide, et tant qu'on ne me justifiera
pas cette exception, j'aurai de la peine à la voir pratiquée... les
(très peu nombreux) théorèmes relatifs à la compacité que j'ai
rencontré dans ma scolarité marchent toujours dans le cas de
l'ensemble vide. Je serai vraiment content si quelqu'un me donnait UN
exemple de théorème relatif à la compacité qui ne marche pas pour le
vide. J'entends par là un "vrai" exemple, pas l'exemple d'un théorème
qui a été reformulé exprès pour que ça foire avec le vide mais dont
l'énoncé peut se réécrire sous une forme plus simple pour laquelle le
vide ne pose pas de problème (et qui est équivalente à ce détail
près).
Merci d'avance.
Pierre.
> Parfois on accepte l'ensemble vide et parfois non... Et ce n'est pas gênant,
> ça ne coûte en général pas cher de voir le cas particulier de l'ensemble
> vide dans un énoncé. Moi j'ai vu des compacts vides et dans l'ensemble ils
> ne posent pas de problème (je veux dire: les théorèmes marchent souvent dans
> ce cas-là).
En général, je suis toujours très frustré quand on restreint le
domaine d'une définition. J'ai toujours vu la définition de la
compacité sans exception sur le vide, et tant qu'on ne me justifiera
pas cette exception, j'aurai de la peine à la voir pratiquée... les
(très peu nombreux) théorèmes relatifs à la compacité que j'ai
rencontré dans ma scolarité marchent toujours dans le cas de
l'ensemble vide. Je serai vraiment content si quelqu'un me donnait UN
exemple de théorème relatif à la compacité qui ne marche pas pour le
vide. J'entends par là un "vrai" exemple, pas l'exemple d'un théorème
qui a été reformulé exprès pour que ça foire avec le vide mais dont
l'énoncé peut se réécrire sous une forme plus simple pour laquelle le
vide ne pose pas de problème (et qui est équivalente à ce détail
près).
Merci d'avance.
Pierre.
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