[licence] Topologie

[Anonyme]

Bonjour

Soit (X , d) un espace métrique.

Alors si X est fini, toute partie de X est à la fois
ouverte et fermée.

Je pense que cela n'est pas vrai dans le cas
général où X n'est pas un espace métrique ?

Pierre

[Anonyme]

On Tue, 13 Jul 2004 11:42:33 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>Bonjour
>
>Soit (X , d) un espace métrique.
>
>Alors si X est fini, toute partie de X est à la fois
>ouverte et fermée.
>
>Je pense que cela n'est pas vrai dans le cas
>général où X n'est pas un espace métrique ?

Certes : X = {0, 1} et on prend la topologie triviale
T = {{}, X}. Alors {0} n'est ni ouverte ni fermée...

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic wrote:
> On Tue, 13 Jul 2004 11:42:33 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>[color=green]
>>Bonjour
>>
>>Soit (X , d) un espace métrique.
>>
>>Alors si X est fini, toute partie de X est à la fois
>>ouverte et fermée.
>>
>>Je pense que cela n'est pas vrai dans le cas
>>général où X n'est pas un espace métrique ?
>
>
> Certes : X = {0, 1} et on prend la topologie triviale
> T = {{}, X}. Alors {0} n'est ni ouverte ni fermée...
>[/color]
Pourriez vous donnez des exemples d'espaces non métriques non triviaux ?

Alexandre.

[Anonyme]

AG a écrit :[color=green]
> > On Tue, 13 Jul 2004 11:42:33 +0100, Pierre Capdevila wrote:[color=darkred]
> >>Alors si X est fini, toute partie de X est à la fois
> >>ouverte et fermée.[/color]
> Pourriez vous donnez des exemples d'espaces non métriques non triviaux ?[/color]

X = {0,1} avec la topologie {{}, {0,1}, {0}}
{1} n'est pas ouvert.

Il suffit que X ne soit pas discret...

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> X = {0,1} avec la topologie {{}, {0,1}, {0}}
> {1} n'est pas ouvert.
> Il suffit que X ne soit pas discret...

De même par exemple :

N (entiers naturels) avec pour ouverts :
{} , N , {0} , {0, 1} , {0, 1, 2} , {0, 1, 2, 3} , ...
?

Ou bien (topologie de l'ordre) :
N (entiers naturels) avec pour ouverts :
{} , N , ]a ; b[ où a < b entiers
?

Question annexe : que signifie "X non discret" ?

Pierre

[Anonyme]

> Question annexe : que signifie "X non discret" ?

Qu'il n'est pas muni de la topologie discrète (qu'il existe un ouvert qui ne
soit pas fermé).

[Anonyme]

> Qu'il n'est pas muni de la topologie discrète (qu'il existe un ouvert qui
ne
> soit pas fermé).

Huh je tape un peu vite; lire: "qu'il existe un partie qui ne soit pas
ouverte".

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> N (entiers naturels) avec pour ouverts :
> {} , N , {0} , {0, 1} , {0, 1, 2} , {0, 1, 2, 3} , ...

Elle sert à quelque chose celle là?

> Ou bien (topologie de l'ordre) :
> N (entiers naturels) avec pour ouverts :
> {} , N , ]a ; b[ où a Question annexe : que signifie "X non discret" ?

X discret c'est que toute partie est ouverte, ou plus simplement que les
singletons sont ouverts.

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit[color=green]
> > Ou bien (topologie de l'ordre) :
> > N (entiers naturels) avec pour ouverts :
> > {} , N , ]a ; b[ où a Je croyais que AG parlait d'espace non métrique non triviaux,
> *finis* et possédant des parties qui ne soient pas 'fermouvertes'.
> La topologie de l'ordre (que je n'ai jamais vue, donc je dis sans doute
> une grosse connerie) que tu sembles définir me paraît discrète (tout
> élément de l'ensemble est ouvert, ça suffit puisqu'on a droit aux
> réunions quelconques). Et "incomplète" d'ailleurs, puisque {1,3}
> ne serait pas ouvert alors que ]0;2[ = {1} et ]2;4[ = {3} le sont.

C'est moi qui ait dit une bêtise (pour 2 raisons) :

1) Tu connais la topologie de l'ordre : c'est par exemple celle de R.
Or on peut la mettre sur tout ensemble E totalement ordonné en
définissant les intervalles ouverts comme une base d'ouverts. Mais
les intervalles ouverts ne sont qu'une base d'ouverts, c'est à dire
que tout ouvert de E est réunion d'intervalles ouverts.

2) Comme tu l'as remarqué cette notion ne semble pas présenter
d'intérêt pour E = N.

Mais pourtant elle en présente une pour E = Q ou R

Sais-tu à quelle propriété se rattache cette remarque que je viens
de faire : "Tout intervalle ouvert non vide de Q est infini"
(ce qui est faux dans N).

Pïerre






[color=green]
> > Question annexe : que signifie "X non discret" ?
>
> X discret c'est que toute partie est ouverte, ou plus simplement que les
> singletons sont ouverts.
>
> --
> Nico.[/color]

[Anonyme]

> La topologie de l'ordre (que je n'ai jamais vue, donc je dis sans doute
> une grosse connerie)

Je pense au contraire que tu la connais très bien : c'est celle de IN comme
sous-espace de IR^n muni de sa topologie usuelle (et c'est effectivement la
topologie discrète).

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> Sais-tu à quelle propriété se rattache cette remarque que je viens
> de faire : "Tout intervalle ouvert non vide de Q est infini"
> (ce qui est faux dans N).

Là comme ça, non. Ceci dit ma seule réflexion a été de chercher sur
Google... qui ne me convainc pas (propriété de "continuité" paraitrait
il).

(un peu de bonne volonté:)
Si un intervalle ouvert ]x;y[ est fini on a (l'ordre étant total):
x Il existe des points isolés

De la même manière, on peut voir que
il existe des points isolés => il existe un intervalle ouvert fini

En effet si il existe un point z isolé, càd que {z} est ouvert, alors
obligatoirement il doit être dans un intervalle ouvert (tout seul, donc
un intervalle fini). En effet si {z} est ouvert il est réunion
d'intersections finies d'ouverts de base. Clairement il sera donc une
intersection (finie d'ouverts de base) sinon ça serait pas un singleton
(sauf à rajouter des ensembles vides). Dès lors il existe x_1...x_m et
y_1 ... y_m (les bornes) avec z égal à l'intersection des intervalles
ouverts, si on prend x=max(x_i) et y=min(y_i), on a bien z = ]x;y[ (on a
bien z > x et z < y, et il est seul puisque sinon il ne serait pas seul
dans l'intersection).

Bref on a donc (pour une topologie d'ordre sur un ordre total) "Tout
intervalle ouvert non vide est infini" ssi "il n'existe pas de points
isolés"

Commentaires/suggestions ?

--
Nico, qui préfère ne pas se relire,
pour avoir toutes les chances d'être ridicule une fois de plus.

[Anonyme]

Stephen a écrit :
> Je pense au contraire que tu la connais très bien : c'est celle de IN comme
> sous-espace de IR^n muni de sa topologie usuelle (et c'est effectivement la
> topologie discrète).

Certes, mais je voulais dire qu'à part la définition que Pierre
m'apprenait à l'instant, je ne savais rien des propriétés de cette
topologie particulière.

Effectivement je connais bien la topologie usuelle de N

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> Si un intervalle ouvert ]x;y[ est fini on a (l'ordre étant total):
> x Donc il est composé de points isolés.

Ma question était d'un autre domaine. Je demandais plutôt
pourquoi on ne peut pas écrire les inégalités ci-dessus dans
le cas de Q. Je sais qu'il n'existe pas de bijection croissante
entre N et Q, mais là encore ... pourquoi ?

Quand je demande "pourquoi" je demande en fait "quelle est
la propriété fondamentale de Q (ou de N) qui fait qu'on peut
écrire ces inégalités dans N et pas dans Q.

Je ne sais pas si je suis clair car en fait dans ma tête c'est pas
limpide ...

Pour le reste de ta réponse je suis tout à fait d'accord.

Pierre

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> Bref on a donc (pour une topologie d'ordre sur un ordre total)
> "Tout intervalle ouvert non vide est infini" ssi "il n'existe pas de
> points isolés"

Ou encore :
Un ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre
est séparé ssi tout intervalle ouvert non vide est infini.
?

Pierre

[Anonyme]

> Un ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre
> est séparé ssi tout intervalle ouvert non vide est infini.

Non, la topologie de l'ordre est toujours séparée (trivial).

--
Yves

[Anonyme]

Nicolas Richard wrote:
> AG a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>>>On Tue, 13 Jul 2004 11:42:33 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>>>
>>>>Alors si X est fini, toute partie de X est à la fois
>>>>ouverte et fermée.
>>
>>Pourriez vous donnez des exemples d'espaces non métriques non triviaux ?[/color]
>
>
> X = {0,1} avec la topologie {{}, {0,1}, {0}}
> {1} n'est pas ouvert.
>
> Il suffit que X ne soit pas discret...
>[/color]


Je me suis mal exprimé. Pierre à dit :

"Je pense que cela n'est pas vrai dans le cas
général où X n'est pas un espace métrique ?"

Or pour moi, si X n'est pas un espace métrique, c'est qu'il n'a pas de
distance associé. Hors je pensais qu'on pouvait toujours trouver une
distance sur un espace, et le rendre par la même occasion "métrique".

Mais là j'ai eu un doute, et je me suis donc demandé quels sont les
espaces non métrique (auxquels on ne peut associer de distance), non
triviaux (j'aimerais qu'ils soient infini par exemple...)

Peut être la question est-elle débile, je n'ai que de vagues souvenirs
de maths de prépa.

Oui la question n'a pas grand chose à voir avec le sujet initial...désolé.

Merci d'avance,

Alexandre.

[Anonyme]

AG a écrit :
> Or pour moi, si X n'est pas un espace métrique, c'est qu'il n'a pas de
> distance associé. Hors je pensais qu'on pouvait toujours trouver une
> distance sur un espace, et le rendre par la même occasion "métrique".

On peut sûrement toujours trouver une distance (la distance triviale)
mais si on se donne une topologie, elle peut ne pas provenir d'une
métrique. Toute topologie non-séparée fournit un exemple... et Pierre en
a donné une sur N par exemple.

J'espère que je réponds encore à quoique ce soit après mes 2 jours
d'absence ...

--
Nico.

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
>
> Nicolas Richard a écrit[color=green]
> > Si un intervalle ouvert ]x;y[ est fini on a (l'ordre étant total):
> > x Ma question était d'un autre domaine. Je demandais plutôt
> pourquoi on ne peut pas écrire les inégalités ci-dessus dans
> le cas de Q.

Parce que les ouverts sont infinis ? Bon je suis conscient que ça ne
t'aide pas... Si je récapitule le peu que je comprenne:
On peut écrire "x Il n'existe pas de point isolé (sur la topologie de l'ordre
correspondant)
Tous les intervalles ouverts sont infinis (pareil)

C'est donc une sorte de propriété de continuité de l'espace. Eh ben on
n'a pas avancé.

> Je sais qu'il n'existe pas de bijection croissante
> entre N et Q, mais là encore ... pourquoi ?

Parce que Q n'a pas de plus petit élément? Mais bon ça tu le savais je
suppose.

> Quand je demande "pourquoi" je demande en fait "quelle est
> la propriété fondamentale de Q (ou de N) qui fait qu'on peut
> écrire ces inégalités dans N et pas dans Q.

J'en ai fichtre aucune idée, je pense.

--
Nico.

[Anonyme]

On Thu, 15 Jul 2004 11:20:43 +0100, Pierre Capdevila wrote:
>Nicolas Richard a écrit[color=green]
>> Si un intervalle ouvert ]x;y[ est fini on a (l'ordre étant total):
>> x > Donc il est composé de points isolés.
>
>Ma question était d'un autre domaine. Je demandais plutôt
>pourquoi on ne peut pas écrire les inégalités ci-dessus dans
>le cas de Q. Je sais qu'il n'existe pas de bijection croissante
>entre N et Q, mais là encore ... pourquoi ?
>
>Quand je demande "pourquoi" je demande en fait "quelle est
>la propriété fondamentale de Q (ou de N) qui fait qu'on peut
>écrire ces inégalités dans N et pas dans Q.[/color]

Pour ce qui est du point de vue « théorie des modèles », la propriété
fondamentale de Q et R en question c'est que ce sont des ordres denses
sans extrémités (ni min ni max) alors que N n'est pas dense (et a une
extrémité...). (Pour la petite histoire les ordres denses sans
extrémités ont une propriété particulière (donc le nom m'échappe) :
si on en prend deux et qu'il existe une bijection entre eux, alors il
existe un isomorphisme entre eux (la structure préservée étant l'ordre,
évidemment)).

[Relecture : je n'ai pas défini « densité » : c'est la propriété,
fondamentale encore une fois, suivante :
pour tous x
>Je ne sais pas si je suis clair car en fait dans ma tête c'est pas
>limpide ...[/color]

Je ne suis pas certain d'avoir répondu à ta question, en fait...

>Pour le reste de ta réponse je suis tout à fait d'accord.
>
>Pierre
>
>
>

[Anonyme]

> extrémité...). (Pour la petite histoire les ordres denses sans
> extrémités ont une propriété particulière (donc le nom m'échappe) :
> si on en prend deux et qu'il existe une bijection entre eux, alors il
> existe un isomorphisme entre eux (la structure préservée étant l'ordre,
> évidemment)).

Euh, R et R privé de Q, c'est bien équipotent mais pas isomorphe!?

La seule chose que je sais, c'est que ce que tu dis est vrai pour des
ensembles dénombrables.

--
Yves