Aire intersection cylindre-sphère

[Nic]

Décidément je vais vous embêter aujourd'hui...

Bonjour à vous !


Voilà mon second problème qui est aussi un calcul d'aire... lol

Voici l'énoncé :

Aire de la portion de sphère intercepté par le cylindre x²+y²-Ry = 0 et située dans le premier octant...

Alors premièrement on peut faire ceci :

x²+(y-R/2)²=R²/4 ---> on a donc un cylindre centré en (0, R/2, 0) et une sphère centrée en (0,0,0)

Afin de calculer cette aire, je dois d'abord rechercher les équations paramétriques fonction de deux paramètres... Dans mon cours, on prend x et y. On a donc :

R(x,y)=(x, y , (R²-x²-y²)^0,5 )

De là on peut faire la matrices des dérivées partielles par rapport à x et y :

Pour x : (1, 0, -x/((R²-x²-y²)^0,5)
pour y : (0, 1, -y/((R²-x²-y²)^0,5)
et : (°, °, ° )

Ce qui donne avec la troisième ligne et en posant(pour l'écriture)
A = ((R²-x²-y²)^0,5) :

n = (x/A, y/A, 1) ... il faut maintenant prendre la norme de ce vecteur normal :

on a donc : ( (x²+y²)/A² + 1 )^0,5

Il faut maintenant intégrer cela sur x et y. Comment choisir les bornes à ce niveau puisqu'il s'agit de la surface de la sphère interceptée par le cylindre...

Dans le cours, on prend x²+y² = r² donc, on a A qui devient (R²-r²)^0,5

On prend comme intégrales une selon l'angle et l'autre selon y. Je ne comprends pas comment on peut arriver à mettre les bonnes bornes. Pour l'angle, l'aire appartient à un octant donc ce sera Pi/2 ... logique, mais pour y on a de 0 à Rsin (angle en question)... Pourquoi ? Comment le voir sur le dessin ?

La réponse finale vaut R²(pi/2 - 1) :)
Je suis désolé si cela n'est pas claire, mais ce ne l'est pas bcp plus dans mon cours... Non pas que je ne prenne pas note, mais que cela n'a pas été bien expliqué donc c'est dur de prendre note de chose que l'on ne comprends pas lorsqu'il s'agit de math...

Merci à vous ! :we:

[Nic]

Allez s'il vous plait :)

Personne ?

[nox]

baeuh...

c'est quoi la question? :hein:

[nox]

que représente R ? (une fonction R et un paramètre R...pas terrible d'avoir le même nom pour les 2)
quel est l'énoncé exactement ?

[Nic]

Eh bien R est le rayon...
Concerner R(x,y), je l'ai noté ainsi ne sachant pas noté les vecteurs sur intertnet :s... C'est en fait un vecteur position. En ce qui concerne l'énoncé, c'est exactement ce qu'il est noté dans moncours, je ne peux pas mettre plus lol...

Si tu préfère, je peux noter r(vecteur position)=(x,y,(R²-x²-y²)^0,5)

Voilà, si vous comprenez pas l'noncé posez les questions merci :)

[Nic]

Et moi qui croyait trouver une aide ici... Personne ne cherche à répondre, c'est vraiment gentil...