équation de l'intersection de deux disques

par **flo22** » 17 Juil 2009, 15:13

Bonjour,

Comment peut-on trouver l'équation d'une surface définie par l'intersection de deux disques ?

Merci de votre aide

par **le_fabien** » 17 Juil 2009, 16:27

Bonjour,
l'intersection de deux disques peut être un segment de droite , non ?

par **Pythales** » 17 Juil 2009, 16:30

Quel est ton problème ? Est-ce le calcul d'une intégrale double ?

par **flo22** » 17 Juil 2009, 16:32

Exactement...

par **Pythales** » 17 Juil 2009, 20:24

Sois plus précis.

par **flo22** » 19 Juil 2009, 18:52

Je dois calculer une intégrale double dont le domaine d'intégration est l'intersection de deux disques, intersection non vide et qui est bien une surface. Je préfère ne pas vous donner l'exo parce que je préfère le chercher à fond par moi même avant. Il n'y pas une technique générale pour faire ce genre d'exercice ?

par **Pythales** » 19 Juil 2009, 19:34

Je crois qu'il faudrait quand même connaître la position des deux disques dans le repère.

par **flo22** » 19 Juil 2009, 19:51

OK en tout cas merci déjà !
Donc ce sont les disques de rayon a et de centre respectifs (0,a) et (a,0), a un réel strictement positif.

par **Pythales** » 19 Juil 2009, 20:13

Dans ce cas, c'est très facile en polaires.
Essaye de montrer que l'aire est décrite par

par **flo22** » 19 Juil 2009, 20:25

OK merci je vais me pencher là dessus.

par **flo22** » 20 Juil 2009, 14:27

Avec ce calcul c'est la valeur de l'aire de la surface que j'aurai non ? Et je n'arrive pas à comprendre le terme

j'aurai eu tendance à m'imaginer un

par **Pythales** » 20 Juil 2009, 14:49

Oui. On aurait pu prendre une seule intégrale et multiplier par 2, mais tu as peut-être à calculer quelque chose du type

avec une fonction

non symétrique.
En polaires, un des cercles a pour équation

(centré sur

) et l'autre

(centré sur

)

est la longueur de la corde commune
L'aire commune vaut

, qui se retrouve d'ailleurs par

(aire du secteur-aire du triangle)

par **flo22** » 20 Juil 2009, 15:02

Mais pour calculer l'intégrale double, ça n'est pas la valeur de l'aire dont j'ai besoin si ?
Et je n'arrive pas à comprendre pourquoi les 2 intégrales que tu me donnes n'expriment pas l'aire d'un quart de disque !

par **Pythales** » 20 Juil 2009, 17:12

La variation de l'angle, pour chaque intégrale, n'est que de

. Ce ne peut pas correspondre à un quart de cercle.
Tu peux aussi utiliser la formule donnant l'aire d'un secteur, à savoir

Un petit croquis t'aidera.

par **flo22** » 20 Juil 2009, 17:16

La courbe

pour

compris entre 0 et

est bien un quart de cercle non ?

par **Pythales** » 20 Juil 2009, 17:37

La longueur de l'arc oui, mais pas l'aire.
Le mieux serait que tu me donnes exactement l'intégrale que tu dois calculer.

par **flo22** » 20 Juil 2009, 18:04

c'est

par **Pythales** » 20 Juil 2009, 19:47

La fonction (

) est symétrique par rapport à la première bissectrice. Tu peux évaluer ton intégrale sur la moitié de la surface, et multiplier par 2
En polaires

et

De sorte que ton intégrale vaut

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est les limites de

et de

:
Pour un

donné,

varie de

à

, et

varie de

à

par **flo22** » 21 Juil 2009, 12:03

Je pense avoir compris les limites de

mais je ne comprends vraiment pas celles de

: pourquoi l'aire ainsi balayée "s'arrête" à la première bissectrice ?

par **flo22** » 21 Juil 2009, 15:18

Serait-ce parce que

est l'angle polaire de la première bissectrice ?

équation de l'intersection de deux disques

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