Exercice de dérivation.

[Ceeline]

Bonjour, j'ai des exercices à faire pour la rentrer et je ne comprends pas, ayant un contrôle la semaine de la rentrée, je voudrais pouvoir comprendre.

Voila l'exercice :


Pour le 1, j'ai fait cela et je voudrais savoir si c'est juste :

f'(x) = 8 * e^(-1/2x) + (8x+16) * -1/2 e^(-1/2x)
= 8 e (-1/2x) - 4x e(-1/2x) - 8 e(-1/2x)
= - 4x e(-1/2x)

Je ne vous demande pas de faire mon exercice mais de m'aider, merci d'avance :)

[annick]

Bonjour,
qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Pour la dérivée, le début de ta fonction est un produit de facteurs, donc de la forme uv qui a pour dérivée u'v+uv'.
Ton exponentielle est de la forme e^u qui a pour dérivée u'e^u
Avec tout ça, tu dois pouvoir t'en sortir.

[Ceeline]

Bonjour,
qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Pour la dérivée, le début de ta fonction est un produit de facteurs, donc de la forme uv qui a pour dérivée u'v+uv'.
Ton exponentielle est de la forme e^u qui a pour dérivée u'e^u
Avec tout ça, tu dois pouvoir t'en sortir.

Oui pour les calculs c'est bon et j'ai d'ailleurs fait ça:
f'(x) = 8 * e^(-1/2x) + (8x+16) * -1/2 e^(-1/2x)
= 8 e (-1/2x) - 4x e(-1/2x) - 8 e(-1/2x)
= - 4x e(-1/2x)

Mais je voudrais savoir si cela est bien juste?

[annick]

Oh! Excuses-moi, je n'avais pas vu ta réponse pour f' et je croyais que tu ne savais pas comment calculer.
Oui, ta dérivée est juste (je pense juste que tu te serais simplifié les calculs en mettant tout de suite e^(-1/2x) en facteur, mais ça c'est juste pour t'ennuyer un peu :lol3: )

Bon, et bien ensuite, tu étudies le signe de ce produit de facteurs.

[Ceeline]

Oh! Excuses-moi, je n'avais pas vu ta réponse pour f' et je croyais que tu ne savais pas comment calculer.
Oui, ta dérivée est juste (je pense juste que tu te serais simplifié les calculs en mettant tout de suite e^(-1/2x) en facteur, mais ça c'est juste pour t'ennuyer un peu :lol3: )

Bon, et bien ensuite, tu étudies le signe de ce produit de facteurs.

Merci pour dérivée
Mais je ne comprends pas comment faire le tableau, je sais à quoi il doit ressembler, une ligne avec x, une ligne avec f(x) et une autre avec f'(x) mais je ne sais pas comment faire pour trouver quel nombre mettre sur la ligne x, ni comment mettre + ou moins dans la ligne f(x) et ni pour les flèches de f'(x).
Pouvez-vous m'expliquer comment faire?

[annick]

Oh là ! Oh là ! Tu n'as jamais fait ça ?

Tu as effectivement ta première ligne avec les x.
Ta fonction est définie sur R donc tu vas avoir les x qui vont de -00 à +00 (-00 à gauche et +00 à droite de ton tableau).
Ensuite, tu as une ligne avec f'(x) (et non f(x)). Là, tu vas étudier le signe de f'(x) en fonction des valeurs de x et reporter éventuellement sur ta première ligne les valeurs particulières de x qui vont par exemple annuler ta dérivée. Tu vas donc mettre sur cette ligne les + et - qui correspondent aux signes de ta dérivée.
En dernier tu vas mettre une ligne où tu mettras les variations de f(x): flèche montante si ta fonction croît, descendante si elle décroît.
Or, cela tu le déduiras de ta ligne de signes de la dérivée : si la dérivée est positive, ta fonction sera croissante, si ta dérivée est négative, ta fonction sera décroissante.

Donc attention :il ne faut pas confondre croissance de la fonction et signe de la dérivée ou signe de la fonction !!!

[Ceeline]

Oh là ! Oh là ! Tu n'as jamais fait ça ?

Tu as effectivement ta première ligne avec les x.
Ta fonction est définie sur R donc tu vas avoir les x qui vont de -00 à +00 (-00 à gauche et +00 à droite de ton tableau).
Ensuite, tu as une ligne avec f'(x) (et non f(x)). Là, tu vas étudier le signe de f'(x) en fonction des valeurs de x et reporter éventuellement sur ta première ligne les valeurs particulières de x qui vont par exemple annuler ta dérivée. Tu vas donc mettre sur cette ligne les + et - qui correspondent aux signes de ta dérivée.
En dernier tu vas mettre une ligne où tu mettras les variations de f(x): flèche montante si ta fonction croît, descendante si elle décroît.
Or, cela tu le déduiras de ta ligne de signes de la dérivée : si la dérivée est positive, ta fonction sera croissante, si ta dérivée est négative, ta fonction sera décroissante.

Donc attention :il ne faut pas confondre croissance de la fonction et signe de la dérivée ou signe de la fonction !!!

Oui, j'ai déjà fait ce genre de tableau, mais je t'avoue que je suis perdue. Et tout ce que tu me dis en sois je le sais mais ce que je ne sais pas c'est comment trouver les valeurs particulières de x qui vont annuler la dérivée et comment faire pour savoir s'il faut mettre plus ou moins.
Pour caculer les valeurs, il doit y avoir un calcul a faire non? Mais je ne m'en souviens pas..

[Ceeline]

J'ai rien dis, il ne faut pas calculer delta et les solutions possibles pour les valeurs de x?

[annick]

Ta dérivée f'(x)== - 4x e(-1/2x)

e^(-1/2x) est toujours positive ( c'est le cas de toutes les exponentielles) et ne s'annule jamais.
4x est positif si x>0, négatif si x<0 et nul si x=0
-4x est donc négatif si x>0, positif si x<0 et nul si x=0
Donc la valeur que tu vas devoir mettre sur ta ligne des x, c'est 0 (au milieu, entre -00 et +00)
Ensuite, tu vas avoir sur ta ligne de f'(x) les signes + 0 -
Enfin sur la dernière ligne tu ta fonction qui sera croissante, qui aura un maximum en 0 puis sera décroissante.

Mais je suis quand même étonnée que tu saches calculer des dérivées, mais pas faire de tableau de variations.

[Ceeline]

Ta dérivée f'(x)== - 4x e(-1/2x)

e^(-1/2x) est toujours positive ( c'est le cas de toutes les exponentielles) et ne s'annule jamais.
4x est positif si x>0, négatif si x0, positif si x<0 et nul si x=0
Donc la valeur que tu vas devoir mettre sur ta ligne des x, c'est 0 (au milieu, entre -00 et +00)
Ensuite, tu vas avoir sur ta ligne de f'(x) les signes + 0 -
Enfin sur la dernière ligne tu ta fonction qui sera croissante, qui aura un maximum en 0 puis sera décroissante.

Mais je suis quand même étonnée que tu saches calculer des dérivées, mais pas faire de tableau de variations.

Voilà a quoi ressemble le tableau si je ne me trompe donc pas?

x +infini 0 -infini
e^(-1/2x) + +
-4x + 0 -
f'(x) flèche qui monte 0 flèche qui descend

Non?
Oui, je sais que c'est étonnant, c'est juste que c'est un peu loin et les professeurs ne prennent plus le temps de réexpliquer des choses "aussi simple" donc.. Mais merci!

[annick]

Bon, c'est pas mal tout ça, mais quelques petites choses qui ne vont pas :

-00 est à gauche : on part à gauche des valeurs les plus petites.
Tu peux mettre une ligne par facteur, comme tu l'as fait, mais au final, tu mets une ligne pour f'(x) qui regroupe tout.
Enfin, pour x=0, au niveau de ta fonction, il faut y mettre la valeur de f(0).
Ici : f(0) = (8(0)+16)e^(-1/2(0)) + 6 e^0=1, donc f(0)=22

Enfin, lorsqu'on fait un problème comme ça, il est toujours judicieux de vérifier sur sa calculatrice que tout ça est cohérent en faisant tracer le graphe de ta fonction.

[Ceeline]

Voilà je pense que j'ai compris maintenant, merci beaucoup mais il me reste une question que je n'avais pas vu, peux-tu m'aider?
La voilà :
Dans un repère orthonormal (on prendra 1 cm par unité), représenter graphiquement la fonction f uniquement sur l'intervalle [0;14].


Il demande de prendre une feuille millimétrée et de faire le graphique non?

[annick]

Oui, on te demande de faire le graphique, mais je ne sais pas si le papier millimétré est obligatoire.

[Ceeline]

Oui, on te demande de faire le graphique, mais je ne sais pas si le papier millimétré est obligatoire.

J'ai tracé les abscisses et les ordonnées mais je ne sais pas comment faire pour tracer la courbe, je sais qu'il faut calculer les points mais je n'ai jamais compris le calcul à faire..