DM Polynomes et complexes

[Doraki]

en effet la fonction cosinus n'est pas pas la fonction constante égale à 1.

c'est cos(x)² + sin(x)² qui est égal à 1.

[Rockleader]

en effet la fonction cosinus n'est pas pas la fonction constante égale à 1.

c'est cos(x)² + sin(x)² qui est égal à 1.

Certes mais à quoi cela m'avance de savoir que

cos 4pi/5 = cos²(2pi/5) - sin²(2pi/5) = 2cos² (2pi/5) - 1 = 1-2sin²(2pi/5)

[Doraki]

on veut exprimer cos(4;)/5) en fonction de cos(2;)/5), pas de sin(2;)/5)
cos(4;)/5)= 2cos(2;)/5)² - 1

Tu as une équation avec cos(4;)/5) et cos(2;)/5)
Tu cherches une équation avec seulement du cos(2;)/5)
Tu as une relation qui exprime cos(4;)/5) en fonction de cos(2;)/5)

Maintenant réfléchis très fort.

[Rockleader]

En partant de

2cos(4pi/5) + 2cos(2pi/5) +1 = 0

On tombe sur

cos(2pi/5)= 1/2 -2cos(2pi/5)²
Je pourrais même dire que 1/2 c'est cos (pi/3) mais ça ne changerait rien au problème...
Au risque de me répéter je ne vois pas en quoi obtenir cela me permet de dire qu'il s'agit bien d'une racine de 4x²+2x+1

[Doraki]

.... on veut montrer que c'est une racine de 4x²+2x-1.

[Rockleader]

.... on veut montrer que c'est une racine de 4x²+2x-1.

Oui je sais lire, ça ne m'aide pas de lire indéfiniment la même question --'

Je sais ce que l'on veut, je sais ce que l'on a comme info, mais je n'arrive pas à faire le lien entre ce que l'on a et ce que l'on veut pour pouvoir faire...

[Doraki]

quand tu dis cos(2pi/5)= 1/2 -2cos(2pi/5)²,
t'es d'accord que t'as montré que cos(2;)/5) est racine de x-1/2+2x² ?

[Rockleader]

quand tu dis cos(2pi/5)= 1/2 -2cos(2pi/5)²,
t'es d'accord que t'as montré que cos(2;)/5) est racine de x-1/2+2x² ?

Non je suis pas daccord, la racine de ton expression c'est 1 vu qu'elle est nulle lorsque le numérateur est nul x-1 = 0 donc x=1...

[Doraki]

je parlais de x-(1/2)+2x²

[Rockleader]

je parlais de x-(1/2)+2x²

Hum ok...

Ben, si on note X:= cos 2pi/5


On peut écrire 2X²+X-(1/2)=0

Soit delta = 1²+4 = 5 ET en faisant ça on retombe sur les racines que j'ai trouvé pour la question suivante...mais je ne suis pas sur que ce soit la démarché à suivre pour répondre à la question.

Où alors me suffit de dire que comme cos2pi/5 est racine de ça, alors cos2pi/5 sera racine du double ?

[fibonacci]

d'où l'on déduit

[Rockleader]

d'où l'on déduit

Je suis désolé, je comprends ce que tu fais, mais je ne comprends pas pourquoi on fait ça.

On a x1+x2 = 1/2 et x1x2= -1/4

Je suis d'accord.

Mais en quoi cela nous permet t'il de dire que x1 et x2 sont les racines de X²+X/2 -1/4

(Parce que si on a ça, c'est gagné puisque il suffit de multiplier le polynôme par 4 pour trouver celui que l'on cherche, et multiplier le tout par 4 ne changera pas les racines.)

[fibonacci]

c'est la relation des racines du trinôme du second degré

qui s' écrivent




alors on doit vérifier la relation

[Rockleader]

c'est la relation des racines du trinôme du second degré

qui s' écrivent




alors on doit vérifier la relation

Je n'ai jamais vu ça en cours...

cela voudrait dire que si x1 et x2 vérifie

Q : X²-(X1+x2)X +x1x2 =0

Alors x1 et x2 sont obligatoirement des racines du polynome Q ?

[fibonacci]

Je n'ai jamais vu ça en cours...

cela voudrait dire que si x1 et x2 vérifie

Q : X²-(X1+x2)X +x1x2 =0

Alors x1 et x2 sont obligatoirement des racines du polynome Q ?

oui

c'est se que l'on appelle relation entre les racines et cela se généralise pour tout polynôme homogène de degré n

[Rockleader]

oui

c'est se que l'on appelle relation entre les racines et cela se généralise pour tout polynôme homogène de degré n

Daccord je ne savais pas cela, c'est noté. Pour moi la seule chose que je savais sur les racines c'est que si un polynome de degré n admettait pour racine x1 et x2 ...xn alors on pouvait le réécrire sous la forme (x-x1)(x-x2)...(x-xn)=0

[fibonacci]

Daccord je ne savais pas cela, c'est noté. Pour moi la seule chose que je savais sur les racines c'est que si un polynome de degré n admettait pour racine x1 et x2 ...xn alors on pouvait le réécrire sous la forme (x-x1)(x-x2)...(x-xn)=0

si on développe

[Rockleader]

si on développe

Je n'y avais pas pensé, mais c'est vrai merci ! En tout cas c'est parfois plus évident à voir comme ça qu'avec la forme factorisé directement !

[Rockleader]

d'où l'on déduit

Je sais, je suis pas douer....je n'arrive pas à retrouver ton résultat de calcul.

Je suis ok jusqu'à




Je ne vois pas pourquoi ce serait 1/2 (x1+x2)

Parce que cos 6 pi/5 c'est cos pi/5 et cos-4pi/5 donc à la limite c'est -x2
Et cos -2pi/5 c'est cos 3 pi/5 et là ce n'est ni x1 ni x2...

[chan79]

Je sais, je suis pas douer....je n'arrive pas à retrouver ton résultat de calcul.

Je suis ok jusqu'à




Je ne vois pas pourquoi ce serait 1/2 (x1+x2)

Parce que cos 6 pi/5 c'est cos pi/5 et cos-4pi/5 donc à la limite c'est -x2
Et cos -2pi/5 c'est cos 3 pi/5 et là ce n'est ni x1 ni x2...

Tu sais que (Egalité 1)
on a la formule
cos 2a = 2cos²a -1
si tu remplaces a par


Si on remplace maintenant dans l'égalité 1 ci-dessus, on obtient:


soit

cela prouve que est une solution de 4X²+2X-1=0