Complexes inéquations et polynomes

[Anonyme]

Bonsoir je bloque sur un exercice sur les complexe

1) Resoudre dans $\C$ l'équation z^6 = - 8

2) Ecrire le ponynome X^6 + 8 comme le produit de 3 polynômes de degré 2 a coefficients dans $\R$

Merci d'avance pour le coup de pouce ! :)

[thomasg]

bonsoir,

il me semble (à vérifier avec soin) que les solutions de ton équation sont:

i*8^(1/6)*exp(2ik*pi/6)

A bientôt.

[yos]

Les solutions de z^n=re^(it) sont les complexes r^(1/n)e^(i(t/n+2kpi/n)) où k prend n valeurs entières consécutives.
Ici ce sont les complexes racine (2)eî(pi/6+kpi/3) où k prend les valeurs de 0 à 5.
Ces six solutions forment 3 paires de conjugués u, ubarre v, vbarre, w, wbarre.
Quand on factorise z^6+8 sous la forme (z-u)(z-ubarre)(z-v)..., on a six facteurs et en développant (z-u)(z-ubarre) on obtient un polynome réel. De meme pour les autres facteurs.
Je te laisse trouver qui est conjugué de qui.
Il y a une meilleure méthode mais sans utiliser la question 1 : on écrit :
z^6+8=(z^2)^3+2^3=(z^2+2)(z^4-2z^2+4) Le deuxième facteur se factorise facilement en remplaçant z^2 par Z.

[Anonyme]

Un grand merci a vous !