Exercice sur les polynomes et complexes
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stephsay
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par stephsay » 12 Jan 2020, 17:51
Bonjour à tous,
Je me permets de vous écrire car j'ai quelques difficultés avec un exercice que j'avais fait en partiel, j'ai donc décidé d'essayer de le refaire chez moi, cependant je n'y arrive pas.
Voici une partie de l'énoncé:
Soit le polynôme P=X^6+2X^5+2X^4-2X^2-2X-1
Montrer que si z appartient à C est racine de P, alors le conjugué de z est aussi racine de P.
Je remercie également par avance les personnes qui auront pris le temps de m'aider.
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Mimosa
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par Mimosa » 12 Jan 2020, 18:01
Bonjour
Comme
pour tout
réel, on a
pour tout polynôme à coefficients réels.
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stephsay
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par stephsay » 12 Jan 2020, 18:49
Bonjour,
Merci d'avoir pris le temps de me répondre.
J'ai pris z=i^2=-1 et du coup son conjugué est -(i^2)=1. J'ai ensuite calculé P de z et P de z barre, j'ai du coup trouvé que pour les deux polynômes: le résultat était égale à 0.
Est-ce suffisant comme justification à la question ?
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 12 Jan 2020, 19:26
stephsay a écrit:J'ai pris z=i^2=-1 et du coup son conjugué est -(i^2)=1. J'ai ensuite calculé P de z et P de z barre, j'ai du coup trouvé que pour les deux polynômes: le résultat était égale à 0.
Là j'avoue que je ne comprends pas pourquoi tu prends z=i^2 ??
Si z est racine de P alors P(z)=0.
Ensuite tu calcules P(zbarre) et tu montres que ça fait 0.
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stephsay
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par stephsay » 12 Jan 2020, 19:37
Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Je ne suis pas censée trouver une valeur de z tel que P(z)=0 ?
Si je comprends bien votre réponse, je dois directement poser avec z.
P(z)=z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z-1=0
Mais comment dois-je calculer P(z) ? Comment je trouve sa valeur ?
Je peux juste dire P(z)=z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z=1
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 12 Jan 2020, 19:41
Oui et ensuite tu prends le conjugué de tout
Et comme le conjugué d'une somme est la somme des conjugués et que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, tu tombes sur
, ce qui prouve que
est racine de P.
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stephsay
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par stephsay » 12 Jan 2020, 20:47
Bonjour,
Je viens enfin de comprendre votre raisonnement après de longues minutes de réflexions.
J'aurai juste une dernière question: Comment je peux expliquer que forcément la somme des conjugués de (P(z))barre est égale à 0 ? En termes de rédaction après avoir énuméré les propriétés que vous venez de me citer.
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 12 Jan 2020, 21:15
Désolé, je ne comprends pas ta question.
Peux-tu préciser ?
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stephsay
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par stephsay » 12 Jan 2020, 22:15
En terme de rédaction pour répondre à la question, est-ce que ça serait correcte et suffisant si je dis ça ?
P(X)=X^6+2X^5+2X^4-2X^2-2X-1
P(z)=z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z-1=0
P(zbarre)=zbarre^6+2zbarre^5+2zbarre^4-2zbarre^2-2zbarre-1=0
Or nous savons que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués et nous savons également que la somme des conjugués est le conjugué d'une somme donc nous avons
(P(z))barre=(z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z-1)barre=0
Donc nous avons P(zbarre)=(P(z))barre=0
zbarre est donc racine de P.
Je ne suis pas sûre au niveau de ma rédaction.
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par Mimosa » 13 Jan 2020, 16:52
Oui, c'est ça. Tu écris beaucoup pour pas grand chose. Il suffit de mentionner le fait que le conjugué d'un réel est lui-même, puis écrire le calcul sur P(z).
J'ai vu que tu as écrit plus haut que le conjugué de
est 1. C'est gravement faux!
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stephsay
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par stephsay » 14 Jan 2020, 17:06
Bonjour,
Merci pour votre aide et d'avoir pris le temps de me répondre.
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mathelot
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par mathelot » 14 Jan 2020, 18:13
Soit P un polynôme à coefficients complexes.
Si
on pose
)
on a:
Si
si z est racine de P
donc
est racine de
d'où
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stephsay
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par stephsay » 14 Jan 2020, 20:59
Bonjour,
Merci pour votre réponse, j'ai bien compris.
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stephsay
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par stephsay » 14 Jan 2020, 21:23
Re Bonjour,
J'ai continué l'exercice et je suis bloquée à la dernière question.
Je vous ai écrit les questions et réponses que j'ai effectué au cas où, vu que pour répondre à la dernière question il faut s'aider des réponses précédentes.
2) Calculer P(1) et P(-1). Que peut-on en déduire ?
J'ai trouvé que P(1)=0 et P(-1)=0, ce sont des racines évidentes de P.
3) On appelle j=-1/2+i*sqrt(3)/2. Calculer j^3 et j²+j+1. Que vaut jbarre en fonction de j?
J'ai trouvé j^3=1 et j²+j+1=0 et jbarre=j^2.
4) Montrer que P admet également j comme racine. Avec quel ordre de multiplicité ? En déduire une autre racine de P.
J'ai trouvé P(j)=0 (j est racine d'ordre au moins 1 de P) puis calculé P'(j) qui est égale à 0 (j est racine d'ordre au moins 2 de P) ensuite j'ai calculé P''(j)=9+(i*12*sqrt(3))/4 donc différent de zéro.
J est racine d'ordre 2 de P et jbarre est une autre racine évidente de P.
5) A l'aide de ce qui précède, déterminer la factorisation de P dans C[X] puis R[X]
Et là, je ne sais pas trop..
J'ai essayé de factoriser P en utilisant les racines évidentes:
P(X)=X^6+2X^5+2X^4-2X^2-2X-1
=(X-1)(X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1)
=(X-1)(X+1)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)
A partir de là, je n'ai plus réussi à trouver de racines évidentes et je ne vois pas quelles sont les prochaines étapes à effectuer.
Je remercie en avance les personnes qui pourront m'éclairer davantage.
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mathelot
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par mathelot » 14 Jan 2020, 21:57
Dans C,
Dans R,
car j+j^2=-1 et j^3=1
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stephsay
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par stephsay » 14 Jan 2020, 22:09
Pouvez-vous m'expliquer comment vous avez trouvé ce résultat? (la partie en rouge)
P(z) =(z-1)(z+1)(z-j)^2 (z-j^2)^2
Je me doute bien que c'est par rapport aux résultats de la question 4 mais j'avoue ne pas trop comprendre.
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par Sa Majesté » 14 Jan 2020, 22:31
Tu sais que j est racine d'ordre 2.
jbarre aussi et jbarre = j².
Et puis tu as un polynôme de degré 6 donc il admet 6 racines complexes.
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stephsay
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par stephsay » 14 Jan 2020, 23:24
Ahh oui, je comprends beaucoup mieux, merci !
Mais du coup je n'ai pas compris pour le cas dans R, d'où vient (z^2+z+1)^2 ?
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fatal_error
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par fatal_error » 14 Jan 2020, 23:51
racine donc
racine
comme multiplicité double des racines
et
Modifié en dernier par
fatal_error le 15 Jan 2020, 15:36, modifié 1 fois.
Raison: edit suite à correction de mathelot 15 Jan 2020 10:49
la vie est une fête
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stephsay
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par stephsay » 15 Jan 2020, 00:29
D'accord, je comprends mieux.
Merci à toutes les personnes qui m'ont aidés !
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