Exercice sur les polynomes et complexes

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stephsay
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Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 12 Jan 2020, 17:51

Bonjour à tous,
Je me permets de vous écrire car j'ai quelques difficultés avec un exercice que j'avais fait en partiel, j'ai donc décidé d'essayer de le refaire chez moi, cependant je n'y arrive pas.

Voici une partie de l'énoncé:
Soit le polynôme P=X^6+2X^5+2X^4-2X^2-2X-1
Montrer que si z appartient à C est racine de P, alors le conjugué de z est aussi racine de P.

Je remercie également par avance les personnes qui auront pris le temps de m'aider.



Mimosa
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par Mimosa » 12 Jan 2020, 18:01

Bonjour

Comme pour tout réel, on a pour tout polynôme à coefficients réels.

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 12 Jan 2020, 18:49

Bonjour,

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.

J'ai pris z=i^2=-1 et du coup son conjugué est -(i^2)=1. J'ai ensuite calculé P de z et P de z barre, j'ai du coup trouvé que pour les deux polynômes: le résultat était égale à 0.

Est-ce suffisant comme justification à la question ?

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Sa Majesté
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par Sa Majesté » 12 Jan 2020, 19:26

stephsay a écrit:J'ai pris z=i^2=-1 et du coup son conjugué est -(i^2)=1. J'ai ensuite calculé P de z et P de z barre, j'ai du coup trouvé que pour les deux polynômes: le résultat était égale à 0.

Là j'avoue que je ne comprends pas pourquoi tu prends z=i^2 ??
Si z est racine de P alors P(z)=0.
Ensuite tu calcules P(zbarre) et tu montres que ça fait 0.

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 12 Jan 2020, 19:37

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Je ne suis pas censée trouver une valeur de z tel que P(z)=0 ?
Si je comprends bien votre réponse, je dois directement poser avec z.
P(z)=z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z-1=0
Mais comment dois-je calculer P(z) ? Comment je trouve sa valeur ?
Je peux juste dire P(z)=z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z=1

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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par Sa Majesté » 12 Jan 2020, 19:41

Oui et ensuite tu prends le conjugué de tout


Et comme le conjugué d'une somme est la somme des conjugués et que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, tu tombes sur , ce qui prouve que est racine de P.

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 12 Jan 2020, 20:47

Bonjour,

Je viens enfin de comprendre votre raisonnement après de longues minutes de réflexions.

J'aurai juste une dernière question: Comment je peux expliquer que forcément la somme des conjugués de (P(z))barre est égale à 0 ? En termes de rédaction après avoir énuméré les propriétés que vous venez de me citer.

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Sa Majesté
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par Sa Majesté » 12 Jan 2020, 21:15

Désolé, je ne comprends pas ta question.
Peux-tu préciser ?

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 12 Jan 2020, 22:15

En terme de rédaction pour répondre à la question, est-ce que ça serait correcte et suffisant si je dis ça ?

P(X)=X^6+2X^5+2X^4-2X^2-2X-1
P(z)=z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z-1=0
P(zbarre)=zbarre^6+2zbarre^5+2zbarre^4-2zbarre^2-2zbarre-1=0
Or nous savons que le conjugué d'un produit est le produit des conjugués et nous savons également que la somme des conjugués est le conjugué d'une somme donc nous avons
(P(z))barre=(z^6+2z^5+2z^4-2z^2-2z-1)barre=0
Donc nous avons P(zbarre)=(P(z))barre=0
zbarre est donc racine de P.

Je ne suis pas sûre au niveau de ma rédaction.

Mimosa
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par Mimosa » 13 Jan 2020, 16:52

Oui, c'est ça. Tu écris beaucoup pour pas grand chose. Il suffit de mentionner le fait que le conjugué d'un réel est lui-même, puis écrire le calcul sur P(z).

J'ai vu que tu as écrit plus haut que le conjugué de est 1. C'est gravement faux!

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 14 Jan 2020, 17:06

Bonjour,

Merci pour votre aide et d'avoir pris le temps de me répondre.

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mathelot
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par mathelot » 14 Jan 2020, 18:13

Soit P un polynôme à coefficients complexes.
Si on pose )

on a:

Si


si z est racine de P


donc est racine de
d'où

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 14 Jan 2020, 20:59

Bonjour,

Merci pour votre réponse, j'ai bien compris.

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 14 Jan 2020, 21:23

Re Bonjour,

J'ai continué l'exercice et je suis bloquée à la dernière question.
Je vous ai écrit les questions et réponses que j'ai effectué au cas où, vu que pour répondre à la dernière question il faut s'aider des réponses précédentes.

2) Calculer P(1) et P(-1). Que peut-on en déduire ?
J'ai trouvé que P(1)=0 et P(-1)=0, ce sont des racines évidentes de P.

3) On appelle j=-1/2+i*sqrt(3)/2. Calculer j^3 et j²+j+1. Que vaut jbarre en fonction de j?
J'ai trouvé j^3=1 et j²+j+1=0 et jbarre=j^2.

4) Montrer que P admet également j comme racine. Avec quel ordre de multiplicité ? En déduire une autre racine de P.
J'ai trouvé P(j)=0 (j est racine d'ordre au moins 1 de P) puis calculé P'(j) qui est égale à 0 (j est racine d'ordre au moins 2 de P) ensuite j'ai calculé P''(j)=9+(i*12*sqrt(3))/4 donc différent de zéro.
J est racine d'ordre 2 de P et jbarre est une autre racine évidente de P.


5) A l'aide de ce qui précède, déterminer la factorisation de P dans C[X] puis R[X]
Et là, je ne sais pas trop..
J'ai essayé de factoriser P en utilisant les racines évidentes:
P(X)=X^6+2X^5+2X^4-2X^2-2X-1
=(X-1)(X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1)
=(X-1)(X+1)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)
A partir de là, je n'ai plus réussi à trouver de racines évidentes et je ne vois pas quelles sont les prochaines étapes à effectuer.

Je remercie en avance les personnes qui pourront m'éclairer davantage.

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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par mathelot » 14 Jan 2020, 21:57

Dans C,


Dans R,


car j+j^2=-1 et j^3=1

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 14 Jan 2020, 22:09

Pouvez-vous m'expliquer comment vous avez trouvé ce résultat? (la partie en rouge)
P(z) =(z-1)(z+1)(z-j)^2 (z-j^2)^2
Je me doute bien que c'est par rapport aux résultats de la question 4 mais j'avoue ne pas trop comprendre.

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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par Sa Majesté » 14 Jan 2020, 22:31

Tu sais que j est racine d'ordre 2.
jbarre aussi et jbarre = j².
Et puis tu as un polynôme de degré 6 donc il admet 6 racines complexes.

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 14 Jan 2020, 23:24

Ahh oui, je comprends beaucoup mieux, merci !
Mais du coup je n'ai pas compris pour le cas dans R, d'où vient (z^2+z+1)^2 ?

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fatal_error
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par fatal_error » 14 Jan 2020, 23:51

racine donc racine


comme multiplicité double des racines et
Modifié en dernier par fatal_error le 15 Jan 2020, 15:36, modifié 1 fois.
Raison: edit suite à correction de mathelot 15 Jan 2020 10:49
la vie est une fête :)

stephsay
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Re: Exercice sur les polynomes et complexes

par stephsay » 15 Jan 2020, 00:29

D'accord, je comprends mieux.

Merci à toutes les personnes qui m'ont aidés !

 

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