Complexes et Polynômes

[Parisin]

Bonjour à vous. J'ai un exercice plutôt difficile à faire pour Lundi .. J'me casse bien la tête dessus mais je sus bloqué. Pouvez-vous m'aider ?

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1) Soit u,v, des nombres complexes. Montrer que :
|u+v|²+|u-v|²=2(|u|²+|v|²).
En donner un interprétation géométrique.

Soient a et b des nombres Complexes. On suppose que les nombres complexe z t z' sont les racines du polynome : X²-2aX+b².
On pose d une racine carrée de a²-b², c'est à dire : d²=a²-b².
2) Donner une expression dez et z' en fonction de a et d.
3) Démontrer ensuite que : |z|+|z'|=|a+b|+|a-b|
4) En déduire un polynôme de degré 2 dont les racines sont |z| et |z'|.

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Le 1) est facile : On développe le terme de gauche en utilisant : |z|²= z . z(barre). Ca marche. MAIS quelle interprétation donner ? Même en essayant des dessins je comprends pas trop =/
Le 2), j'ai : z= a + (i*d)/2 et z'= a - (i*d)/2. Juste ? Ou le i n'est pas présent ?
Après je bloque dès le 3, mais je vois le rappot avec la question 1), mais sans les carrés .. Dois-je développer avec z et z' ?
Ensuite pour le 4, je dois donner un polynôme. Comment raisonner pour donner une réponse plutôt simple et fluide ?


Merci à vous.

[Ben314]

Salut,

Pour le 1), l'interprétation géométrique est assez simple : additionner dux complexes correspond à tracer un parallélogramme et on "lit" la somme dans une des diagonales et la différence...

Pour le 2) je vois vraiment pas comment tu as pu obtenir un i dans ta formule...

Pour le 3), part de (|z|+|z'|)²=(|a+d|+|a-d|)² puis développe et utilise la formule du 1) puis fait de même en partant de l'autre coté de l'égalité.
Tu doit trouver... la même chose !

Le 4) est simple : tu connait la somme |z|+|z'| et le produit |z||z'| donc...