Compacité dans un domaine

[AlexisD]

Bonjour à tous,

Petite question de niveau élémentaire.

Dans R^n, la propriété de Riemann Lebesgue dit que fermé borné, c'est équivalent à compact.
Le Théorème de Riesz-Fisher donne un contrexemple lorsque l'espace est de dimension infinie.

Ma question est la suivante, si je considère un domaine de C^n, c'est-à-dire un ouvert connexe non vide et que dans ce domaine, se trouve un sous-ensemble K borné et fermé dans D. Est-il compact dans D ?

A mon avis, non mais quelqu'un a-t-il un contrexemple ?

[AlexisD]

J'ai peut-être quelquechose:

D= {}
K= {}

K est fermé dans D (son complémentaire y est ouvert), K est borné car D l'est mais K n'est pas compact dans D puisque la suite:

Z_n=(1/2+1/n ; 0) à valeurs dans K ne possède aucune sous-suite convergente dans K.

En fait ca marche pour n=1 aussi...


(C'est toujours quand on pose le problème à quelqu'un qu'on trouve comment faire...)

[Nightmare]

Salut,

Je ne comprends pas bien ta question :

C^n c'est un R-ev de dimension finie donc ses parties compactes sont exactement les fermés bornés

[Luc]

Salut,

le théorème de Riesz-Fisher dit en fait que (fermé borné <=> compact) <=> (dimension finie)
Ta question se ramène donc à : peut-on trouver K borné (pas trop dur) fermé dans D, mais pas fermé dans C^n (ça c'est le vrai travail à mon avis)?
(et pourquoi supposes-tu D connexe?)

[Nightmare]

Ah ok, j'avais pas du tout compris l'énoncé comme ça.

Dans ce cas je suis d'accord avec son exemple. Cela dit, son domaine a un trou, c'est encore possible si on suppose D ouvert connexe simplement connexe?

[AlexisD]

En fait j'ai supposé mon ouvert connexe par habitude de l'analyse complexe.
Si mon ouvert est simplement connexe, je n'ai pas réflechi à ca, peut-être ya-t-il le théoreme de représentation conforme de Riemann qui va jouer...
On se ramene via un biholomorphisme ou bien à C ou bien au disque unité... J'y réflechirai ce soir.

[Doraki]

Si tu prends D = un ouvert borné et K = D, K est fermé dans D et borné, mais pas compact (ça veut dire quoi, "compact dans D") ?

[Luc]

Si tu prends D = un ouvert borné et K = D, K est fermé dans D et borné, mais pas compact (ça veut dire quoi, "compact dans D") ?

Bien vu :we: